Теория чисел

Задачи 21-40

вернуться к содержанию

21. Докажите, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел при делении на 4 дает в остатке 1.
22. Докажите, что нет такого числа в последовательности 11, 111, 1111, 11111, ..., которое является квадратов целого числа.
23. Докажите, что при всех целых $n$ число $n^5-n$ делится на 30.
24. Найдите такие натуральные $n$ и $m$, что $m+n=20$ и НОД$(n,m)=5$.
25. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ наибольший общий делитель чисел $n^2+10n+21$ и $n^2+9n+18$ равен $n+3$
26. Докажите, что при всех целых $k$ выполняется равенство НОД$(2k+1,9k+4)=1$
27. Найдите наибольший общий делитель чисел 11111111 и 11...111 (сто раз повторяется единица).
28. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ наименьшее общее кратное чисел $n^2+6n+9$ и $n+4$ равно $n^3+10n^2+33n+36$
29. Совокупность А состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратов никакого целого числа. Найдите числа, из которых состоится А.
30. Расшифруйте равенство $\overline{PPQ}\cdot P=\overline{MRMM}$
31. Найдите все пары натуральных чисел $m$ и $n$, удовлетворяющих равенству $2^m-2^n=1984$
32. Докажите, что ни при каком натуральном $n$ число $n^4+2n^3+2n^2+2n+1$ не может быть полным квадратом.
33. Докажите, что натуральное число, сумма цифр которого равна 24, не может быть полным квадратом.
34. Докажите, что число, оканчивающееся на 17, не может быть полным квадратом.
35. Сумма цифр некоторого числа $n$ равна 366. Может ли это число быть полным квадратом?
36. Найдите предпоследнюю цифру числа, которое является полным квадратом и оканчивается на 5.
37. Докажите, что числа 16, 1156, 111556, 11115556, ... являются полными квадратами.
38. Найдите последнюю цифру числа $1997^{1997}$
39. Докажите, что разность между трехзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, либо равна нулю, либо не может быть квадратом целого числа.
40. Найдите цифру Х, при которой число $\overline{12X347X}$ делится на 8.