Решебник домашнего задания урока 12
В.В. Ткачук  “Математика – абитуриенту”

Задачи 1-5

Рассмотрим решение задач с номерами 1-5 домашнего задания урока 12 на тему: “Сложные системы уравнений“. Весь список домашних заданий и их решений здесь.

Задача 1. Заметим, что \(x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy\). Тогда второе уравнение системы принимает вид: \((x+y)^2-xy=13\). Выразим из первого уравнения \(x+y=7-xy\) и подставим во второе. Получим квадратное относительно \(xy\) уравнение: \((7-xy)^2-xy=13\Leftrightarrow (xy)^2-15xy+36\), откуда \(xy=3\) или \(xy=12\). То есть исходная система эквивалентна совокупности двух систем: \(\left\{\begin{array}{l l} xy=3,\\ x+y=4 \end{array}\right.\) и \(\left\{\begin{array}{l l} xy=12,\\ x+y=-5 \end{array}\right.\), каждая из которых решается методом подстановки (выразим, например, переменную \(y\) из второго уравнения и подставим в первое) или можно вспомнить теорему Виета. В первой системе ответ (1;3), (3;1), во второй решений нет. Итоговый ответ исходной системы: (1;3), (3;1)

Задача 2. Домножим первое уравнение на 13, а второе – на 20 и вычтем из первого уравнения второе. Наша цель: получить уравнение, не содержащее число как слагаемого, именно поэтому уравнения были домножены на числа 13 и 20. Получаем систему \(\left\{\begin{array}{l l} 26x^2+13xy-13y^2-20x^2+80xy-140y^2=0,\\ x^2-4xy+7y^2=13\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l l} 2x^2+31xy-51y^2=0,\\ x^2-4xy+7y^2=13\end{array}\right.\). Систему такого вида называют однородной второй степени. Первое уравнение является квадратным относительно \(x\) (то есть коэффициенты \(a=6\), \(b=31y\), \(c=-51y^2\) содержат \(y\), что может показаться странным, однако, ничего крамольного в этом нет). Дискриминант равен \((37y)^2\) , а сами корни \(x=\frac{3y}{2}\) и \(x=-17y\).  Таким образом, исходная система эквивалента совокупности двух систем: \(\left\{\begin{array}{l l} x=\frac{3y}{2},\\ x^2-4xy+7y^2=13\end{array}\right.\) и \(\left\{\begin{array}{l l} x=-17y,\\ x^2-4xy+7y^2=13\end{array}\right.\). Каждая система решается методом подстановки. Ответ первой системы: (3;2), (-3;-2), ответ второй системы: \((-17/\sqrt{28}; 1/\sqrt{28}), (17/\sqrt{28}, -1/\sqrt{28})\).

Задача 3. Система аналогична предыдущей задаче. Домножим первое уравнение на 7, второе – на 20 и вычтем из первого уравнения второе. Получим квадратное относительно \(x\) уравнение \(x^2+15yx-34y^2=0\) с корнями \(x=2y\) и \(x=-17y\). То есть исходная система эквивалентна двум системам \(\left\{\begin{array}{l l} x=2y,\\ x^2+xy+y^2=7\end{array}\right.\) и \(\left\{\begin{array}{l l} x=-17y,\\ x^2+xy+y^2=7\end{array}\right.\), каждая из которых решается методом подстановки.

Задача 4. Методом группировки разложим второе уравнение на множители: \( (x^2+2xy)+(xy+2y^2)+2(x+2y)=0\) \(\Leftrightarrow (x+2y)(x+y)+2(x+2y)=0\) \(\Leftrightarrow (x+2y)(x+y+2)=0\). Так как произведение равно нулю, то уравнение (а вместе с ним и система) распадается на два уравнения: \(x+2y=0\) и \(x+y+2=0\). Приходим к совокупности двух систем \(\left\{\begin{array}{l l} x+2y=0,\\ x^2-y^2+3y=0\end{array}\right.\) и \(\left\{\begin{array}{l l} x+y+2=0,\\ x^2-y^2+3y=0\end{array}\right.\), каждая из которых решается методом подстановки.

Задача 5. Приравняем левые части первого и второго уравнений. Получим \(x^2+y^2+z=x^2+y+z^2\) \(\Leftrightarrow y^2-z^2=y-z\) \(\Leftrightarrow (y-z)(y+z-1)=0\). Приходим к совокупности двух систем \(\left\{\begin{array}{l l} y=z,\\ x^2+y+z^2=2,\\ x+y^2+z^2=2\end{array}\right.\) и \(\left\{\begin{array}{l l} y+z-1=0,\\ x^2+y+z^2=2,\\ x+y^2+z^2=2\end{array}\right.\).

Рассмотрим первую систему. Выразим из первого уравнения \(z=y\) и подставим во второе и третье. Так как правые части второго и третьего уравнений равны, то приравняем левые части. Получим уравнение \(x^2+y+y^2=x+2y^2\) \(\Leftrightarrow (x-y)(x+y-1)=0\), которое распадается на два уравнения \(x-y=0\) и \(x+y-1=0\). То есть приходим к совокупности двух систем \(\left\{\begin{array}{l l} z=y,\\ x=y,\\ x+2y^2=2\end{array}\right.\) и \(\left\{\begin{array}{l l} z=y,\\ x=1-y,\\ x+2y^2=2\end{array}\right.\), каждая из которых решается методом подстановки. Напомним, что это только первая система из первого шага решения.

Рассмотрим вторую систему. Выразим из первого уравнения \(z=1-y\) и подставим во второе и третье уравнения. Получим систему \(\left\{\begin{array}{l l} z=1-y,\\ x^2+y^2-y-1=0,\\ x+2y^2-2y-1=0 \end{array}\right.\). Осталось умножить второе уравнение на 2 и от него отнять третье уравнение. Получим уравнение \(2x^2-x-1=0\), содержащее только одну неизвестную \(x\).  Его корни \(x=1\) и \(x=-1/2\). Осталось по каждому корню найти \(y\) и \(z\).