Решебник домашнего задания урока 13
В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”
Задачи 1-3
Рассмотрим решение задач с номерами 1-3 домашнего задания урока 13 на тему: “Текстовые задачи на движение“. Весь список домашних заданий и их решений здесь.
Задача 1. Пусть \(S_1\) м – длина окружности заднего колеса, а \(S_2\) м – длина окружности переднего колеса (\(S_1>S_2)\). Тогда \(n\cdot S_1=(n+1000)\cdot S_2\) и \(n\cdot S_1=(n+200)\cdot\displaystyle\frac{3S_2}{2}\). Выразим из каждого уравнения \(n\) и приравняем полученные выражения: \(\displaystyle\frac{1000S_2}{S_1-S_2}=\frac{600S_2}{2S_1-3S_2}\), откуда \(7S_1=12S_2\). По условию, \(S_1=S_2+\displaystyle\frac{3}{2}\), тогда \(7S_2+\displaystyle\frac{21}{2}=12S_2\), поэтому \(S_2=2,1\) м, \(S_1=3,6\) м.
Задача 2. Пусть \(S\) м – длина окружности, по которой движутся тела, \(V_1, V_2\) – скорости этих тел в м/c. Тогда \(\displaystyle\frac{S}{V_1}\) – время, за которое первое тело проходит окружность, \(\displaystyle\frac{S}{V_2}\) – время, за которое второе тело проходит окружность. Из условия следует, что \(\displaystyle\frac{S}{V_1}+2=\frac{S}{V_2}\). Так как первое тело догоняет второе каждые 12 с, то расстояние между ними сокращается от \(S\) до 0 со скоростью \(V_1-V_2\) за 12 с, то есть \(\displaystyle\frac{S}{V_1-V_2}=12\), откуда \(S=12(V_1-V_2)\). После подстановки найденного выражения для \(S\) в первое уравнение, получаем равенство \(12(V_1-V_2)V_2+2V_1V_2=12(V_1-V_2)V_1\), что равносильно уравнению \(6V_1^2-13V_1V_2+6V_2^2=0\). Далее можно разделить левую и правую части уравнения, например, на \(V_2\) и решить полученное уравнение \(6\displaystyle (\frac{V_1}{V_2})^2-13\frac{V_1}{V_2}+6=0 \) как квадратное относительно \(\displaystyle\frac{V_1}{V_2}\). Получаем, что \(\displaystyle\frac{V_1}{V_2}=\frac{2}{3}\) (второй корень, равный 1,5, не удовлетворяет требованию \(V_1>V_2\)). Тогда \(S=4V_2\) и \(\displaystyle \frac{S}{V_2}=4\) с, \(\displaystyle\frac{S}{V_1}=6\) с.
Задача 3. Пусть \(x\) км – расстояние АС, \(V\) км/ч – скорость автобуса, \(2V\) км/ч – скорость поезда. Так как вся поездка занимает 1 час 15 мин, то есть \(\frac{5}{4}\) часа, то \(\displaystyle\frac{x}{2V}+\frac{15}{V}=\frac{5}{4}\). Для составления второго уравнения заметим, что время, затраченное пассажиром на путь до пункта С без ожидания автобуса в пункте, равно \(\displaystyle\frac{x-5}{2V}+\frac{5}{4}\). Тогда время, затраченное на весь путь до С равно \(\displaystyle\frac{x-5}{2V}+\frac{5}{4}+\frac{1}{3}+\frac{15}{V}\). Значит, можно составить второе уравнение в виде \(\displaystyle\frac{x-5}{2V}+\frac{5}{4}+\frac{1}{3}+\frac{15}{V}=\frac{5}{4}+\frac{3}{2}\). Напомним, что единицы измерения должны быть соблюдены (в нашем случае все данные представлены через км и ч). Осталось из каждого уравнения выразить \(V\) и приравнять полученные выражения. Получим уравнение \(\displaystyle\frac{2}{5}(x+30)=\frac{3}{7}(x-5+30)\), откуда \(\displaystyle\frac{7x}{3}+70=\frac{5x}{2}-\frac{25}{2}+75\) и \(x=45\) км.