Решебник домашнего задания урока 1
В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”
Задачи 15-17
Рассмотрим решение задач с номерами 15-17 домашнего задания урока 1 на тему: “Тригонометрические уравнения. Сведение к квадратным уравнениям“. Весь список домашних заданий и их решений здесь.
Задача 15. \(5+2\sin 2x-5\cos x=5\sin x\). Применим формулу двойного аргумента \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) и представим \(5=3+2=3+2\cdot 1=3+2\cdot(\sin^2x+\cos^2x)\). Тогда уравнение примет вид \(3+2(\sin^2 x+\cos^2 x)+4\sin x\cos x-5(\cos x+\sin x)=0\) \(\Leftrightarrow 3+2(\sin x+\cos x)^2-5(\sin x+\cos x)=0\)\(\Leftrightarrow 2(\sin x+\cos x)^2-5(\sin x+\cos x)+3=0\). Далее решаем как квадратное относительно \(\sin x+\cos x\) (или можно сделать замену \(t=\sin x+\cos x\) для более наглядного представления). Получаем, что \(\sin x+\cos x=\frac{3}{2}\) или \(\sin x+\cos x=1\). Так как \(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})\), то уравнения принимают вид \(\sin (x+\frac{\pi}{4})=\frac{3}{2\sqrt{2}}\) и \(\sin (x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Первое уравнение коней не имеет, так как \(\frac{3}{2\sqrt{2}}>1\). Для второго уравнения \(x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z\).
Задача 16. [2] Необходимо решить уравнение \(\sin^4 x+\cos^4 x=\frac{3}{4}\) . Применим формулу \(a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2\) к левой части уравнения. Тогда \((\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=\frac{3}{4}\). Так как \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) и \(\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x\), то уравнение примет вид \(1-\displaystyle\frac{\sin^2 2x}{2}=\frac{3}{4}\) \(\Leftrightarrow \sin^2 2x=\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\sin 2x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда \(x=\pm\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, n \in Z\).
Задача 17. \(\cos 4x+8\sin^2 x-2=6\cos 2x-8\cos^4 x\). Применим формулы понижения степени \(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\) и \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\). Получим уравнение \(\displaystyle 2\cos^2 2x-1+8\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}-2=6\cos 2x-8\cdot (\frac{1+\cos 2x}{2})^2\) \(\Leftrightarrow 2\cos^2 2x-1+4-4\cos 2x-2=6\cos 2x-2-4\cos 2x-2\cos^2 2x\) \(\Leftrightarrow 4\cos^2 2x-6\cos 2x+3=0\). Пришли к квадратному относительно \(\cos 2x\) уравнению с отрицательным дискриминантом.