Решебник домашнего задания урока 1
В.В. Ткачук  “Математика – абитуриенту”

Задачи 18-20

Рассмотрим решение задач с номерами 18-20 домашнего задания урока 1 на тему: “Тригонометрические уравнения. Сведение к квадратным уравнениям“. Весь список домашних заданий и их решений здесь.

Задача 18. \(4-3\cos 4x=10\sin x\cos x\)  \(\Leftrightarrow 4-3(1-2\sin^2 2x)=5\sin 2x\) \(\Leftrightarrow 6\sin^2 2x-5\sin 2x +1=0\). Получено квадратное относительно \(\sin 2x\) уравнение. Далее можно сделать замену \(t=\sin 2x\). В итоге, \(\sin 2x = \frac{1}{2}\) или \(\sin 2x=\frac{1}{3}\), откуда \(x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\) и \(x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac{1}{3}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z\).

Задача 19. [2] Необходимо решить уравнение \(\sin^8 x+\cos^8 x=\displaystyle\frac{17}{16}\cos^2 2x\). Применим формулы \(a^8+b^8=(a^4+b^4)^2-2a^4b^4\) и \(\sin 2x=2\sin x\cos x\). Тогда уравнение принимает вид \( (\sin^4x+\cos^4x)^2-2\sin^4x\cos^4x=\displaystyle\frac{17}{16}\cos^2 2x\)  \(\Leftrightarrow (1-2\sin^2x\cos^2 x)^2-2\sin^4x\cos^4x=\displaystyle\frac{17}{16}\cos^2 2x\), так как \(a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2\) и \(\sin^2x+\cos^2 x=1\). Далее \((1-\displaystyle\frac{\sin^22x}{2})^2-\frac{\sin^4 2x}{8}=\frac{17}{16}(1-\sin^2 2x)\).  Осуществим замену \(\sin^2 2x=t\). Тогда \((1-\displaystyle\frac{t}{2})^2-\frac{t^2}{8}=\frac{17}{16}(1-t)\)  \(\Leftrightarrow 2t^2+t-1=0\), откуда \(\sin^22x=-1\) и \(\sin^2 2x=\displaystyle\frac{1}{2}\). Первое уравнение решений не имеет. Из второго находим, что \(x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, n \in Z\). Кстати, данное множество углов можно записать и формулой \(x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, n\in Z\)

Задача 20. \(\displaystyle\frac{6-5\sin^2 x}{\cos^2 x}=5tg x\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{6}{\cos^2 x}-5tg^2 x=5tg x\)  \(\Leftrightarrow 6(1+tg^2 x)-5tg^2 x=5tg x\) \(\Leftrightarrow tg^2 x-5 tg x+6=0\). В результате решения данного квадратного относительно \(tg x\) уравнения имеем совокупность двух уравнений \(tg x = 2\) и \(tg x = 3\). Значит, \(x=arctg2+\pi n, n\in Z\), \(x=arctg3+\pi n, n\in Z\).