Урок 17. Прогрессии

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. Известно, что $$a_1,\ldots, a_{15}$$ – арифметическая прогрессия и $$a_1+a_5+a_{15}=3$$. Найдите $$a_5+a_9$$.
2. Известно, что $$b_1,\ldots, b_{11}$$ – геометрическая прогрессия и $$b_1b_3b_{11}=8$$. Найдите $$b_2b_8$$.
3. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют (в том порядке, в котором они стоят в числе) возрастающую арифметическую прогрессию и которое делится на 45.
4. [2] Найдите все значения $$a$$, при которых уравнение $$x^8+ax^4+1=0$$ имеет ровно четыре корня и эти корни образуют арифметическую прогрессию.
5. Про натуральные числа $$k, p, m, v$$ известно следующее: $$k, p, m$$ – геометрическая прогрессия, $$k-2, p, m, v-12$$ – арифметическая прогрессия и $$m+18=v$$. Найдите $$m$$.
6. Найдите сумму чисел, являющихся одновременно членами прогрессии 3, 7, 11, …, 203 и прогрессии 2, 9, 16, …, 212.
7. Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого ее членов равна 4. Найдите первый член прогрессии.
8. Известно, что $$a_1, a_2, a_3$$ – геометрическая прогрессия, знаменатель которой $$q$$ – натуральное число, причем $$a_1=8, 2a_2-a_3/2>15$$. Найдите $$q$$.
9. Пусть $$a_1,\ldots, a_{20}$$ – арифметическая прогрессия, $$a_3+a_7+a_{14}+a_{18}=10$$. Найдите $$a_1+a_2+\ldots+a_{20}$$.
10. [3] Могут ли числа $$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$$ быть членами (не обязательно последовательными) одной арифметической прогрессии?
11. Известно, что $$a^2, b^2, c^2$$ – арифметическая прогрессия. Докажите, что тогда и $$\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c},\frac{1}{a+b}$$ – тоже арифметическая прогрессия.
12. [2] Известно, что при любом $$n$$ сумма первых $$n$$ членов некоторой числовой последовательности выражается формулой $$S_n=2n^2+3n$$. Найдите десятый член этой последовательности и докажите, что она является арифметической прогрессией.
13. [3] Найдите сумму $$1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+4\cdot 2^3+5\cdot 2^4+\ldots+100\cdot 2^{99}$$.
14. Известно, что $$a_1,\ldots, a_5$$ – геометрическая прогрессия с положительными членами, $$a_2a_3a_4=1, a_1=10000a_5$$. Найдите все члены этой прогрессии.
15. [2] Известно, что $$a_1,a_2,a_3$$ и $$b_1,b_2,b_3$$ – арифметические прогрессии, причем $$a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3$$ и $$a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3$$ – геометрическая прогрессия. Докажите, что $$a_1=b_3, a_2=b_2, a_3=b_1$$.

Ответы к домашнему заданию урока 17 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. 2
2. 4
3. 135
4. -82/9
5. 18
6. 749
7. 3
8. 2
9. 50
10. не могут
12. $$a_{10}=41, q=4$$
13. $$99\cdot 2^{100}+1$$
14. 100, 10, 1, 1/10, 1/100