Урок 23. Применения производной

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x^3-9x^2+15x+1$$ на отрезке [-2; 6].
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x^2-5|x+1|-2$$ на отрезке [-3; 3].
3. Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=-|x^3-6x^2+9x-3|$$ на отрезке [-1; 4].
4. Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{2x^2+x+1}{3x^2-x+2}$$.
5. Найдите токи экстремума и отрезки монотонности функции $$f(x)=x^3+6x^2-3x+3$$ на интервале (-5; 1/5).
6. Найдите все $$x\in (0; \pi/2)$$ такие, что $$f'(x)=0$$, где $$f(x)=\sin x\cdot\sin (\frac{\pi}{2}-x)\cdot (\sin (\frac{\pi}{2}-x)-\sin x)$$.
7. Найдите наименьшее значение функции $$y=2|x-3|+|3x-2|$$.
8. Найдите наибольшее значение функции $$y=2\sin x+\sin 2x$$ на отрезке $$[0; 5\pi/4]$$.
9. Найдите наименьшее значение функции $$y=-\cos^2 x-\frac{\sqrt{3}}{2}x$$ на отрезке $$[0; \pi]$$.
10. Найдите все $$x$$, при которых функция $$y=4\cos^2 x+3\sqrt{3}\sin x+7\sin^2 x$$ принимает наименьшее значение.
11. Найдите все $$x$$, при которых функция $$y=6\cos^2 x+6\sin x-2$$ принимает наибольшее значение.
12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=18x-\sin 9x+3\sin 6x$$ на отрезке $$[-7\pi/18; \pi/18]$$.
13. [2] При каких $$x$$ функция $$f(x)=x^2(45\sin 3x-9\cos 3x)+x(30\cos 3x+6\sin 3x)+80\sin 3x-16\cos 3x$$ имеет минимумы?
14. [2] При каких $$x$$ функция $$f(x)=x^2(6\sin 2x-8\cos 2x)+x(6\cos 2x+8\sin 2x)+3\sin 2x-4\cos 2x$$ имеет максимумы?
15. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=|x^2+x|+|x^2+5x+6|$$ на отрезке [-5/2; 1/2].
16. Найдите точки максимума функции $$y=-5x^3+x|x-1|$$ на отрезке [0;2] и ее наименьшее значение на этом же отрезке.
17. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $$y=x+\frac{1}{x-1}$$.
18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=|\sin x|+|\cos x|$$.
19. Найдите наименьшее значение функции $$y=|tg x|+|ctg x|$$.
20. [3] Найдите сумму $$1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+4\cdot 3^3+\ldots+100\cdot 3^{99}$$.

Ответы к домашнему заданию урока 23 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. -73; 8
2. -53/4; -1
3. -19
4. 7/23
5. возрастает на $$(-5; -2-\sqrt{5}]$$; убывает на $$(-2-\sqrt{5}; 1/5)$$; $$-2-\sqrt{5}$$
6. $$\arcsin (2/3)/2; \pi/2-\arcsin (2/3)/2$$
7. 14/3
8. $$3\sqrt{3}/2$$
9. $$-1-\pi\sqrt{3}/2$$
10. $$(-1)^{n+1}\pi/3+n\pi$$
11. $$(-1)^n\pi/6+n\pi$$
12. $$\pi-1+3\sqrt{3}/2; -7\pi-1-3\sqrt{3}/2$$
13. $$-\arcsin (5/\sqrt{26})/3+2n\pi/3$$
14. $$-\arccos (4/5)/2+\pi/2+n\pi$$
15. 3/2; 6
16. -38; 1/5
17. возрастает на $$(-\infty; 0)$$ и $$(2; +\infty)$$; убывает на (0;1) и (1;2)
18. $$1; \sqrt{2}$$
19. 2
20. $$(199\cdot 3^{100}+1)/4$$