Тригонометрия. Урок 4. Преобразование сумм в произведения и произведений в суммы.
Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”
Задачи 1 – 16 и ответы к ним Задачи 17-32 и ответы к ним
- $$\sin y+\cos 3y=1-2\sin^2 y+\sin 2y$$
- $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$$
- $$\sin 3x+\sin x+2\cos x=\sin 2x+2\cos^2 x$$
- $$\frac{2}{\sqrt{3}}(tg x-ctg x)=tg^2 x+ctg^2 x-2$$
- [2] $$\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}+2tg x=0$$
- $$3-tg^2 \frac{10\pi}{3}\cdot cos(4(x-\frac{7\pi}{2}))+\frac{8}{\cos^2 (9\pi /4)}\sin (\frac{5\pi}{2}-2x)=0$$
- [2] $$\sin^4 x+\sin^4 (x+\frac{\pi}{4})+\sin^4 (x-\frac{\pi}{4})=\frac{9}{8}$$
- $$2\sin^2 x+\sin (x^2)=1$$
- $$3+2\sin 3x\cdot \sin x=3\cos 2x$$
- $$\cos 5x\cdot \cos 4x+\cos 4x\cdot\cos 3x-\cos^2 2x\cdot\cos x=0$$
- $$2\sin 3x+\cos x\cdot\cos 2x=(\cos x+\cos 3x)(tg^2 x+tg 2x)$$
- $$6\sin x+6\cos 2x=\sin 2x\cdot\cos x+6\cos^2 x$$
- [2] $$tg (\frac{\pi}{2}\cos x)=ctg(\frac{\pi}{2}\sin x)$$
- [2] $$\cos (\frac{\pi}{2}tg x)=\sin(\frac{\pi}{2}ctg x)$$
- $$\sin x\cdot\cos x\cdot\sin 3x-\cos 3x\cdot\sin^2 x=6ctg x$$
- [3] При каких $$a$$ уравнение $$4\sin (x+\frac{\pi}{3})\cos(x-\frac{\pi}{6})=a^2+\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$$ имеет решения? Найти их.
Ответы к домашнему заданию урока 4 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”
По умолчанию, $$n \in Z$$.
- $$2n\pi, 3\pi/2+2n\pi, 3\pi/8+n\pi/2$$
- $$2n\pi/5, \pi/2+n\pi, \pi+2n\pi$$
- $$2n\pi, \pi/2+n\pi, -\pi/4+n\pi$$
- $$\pm \pi/4+n\pi, \pi/3+n\pi, -\pi/6+n\pi$$
- $$n\pi, \pm arccos(1/6)/2+n\pi$$
- $$\pm arccos(-1/3)/2+n\pi$$
- $$\pm arctg((2\sqrt{6}-3)/3)+n\pi$$
- $$\pm 1\pm\sqrt{1+\pi/2+2n\pi}, n\geq 0$$
- $$n\pi$$
- $$\pi/2+n\pi, \pm arccos((1\pm\sqrt{17})/8)/4+n\pi/2$$
- $$arctg((1\pm\sqrt{3})/2)+n\pi$$
- $$n\pi, \pi/2+n\pi$$
- $$\pm\pi/2+2n\pi$$
- $$arctg((-4n-1\pm\sqrt{(4n+1)^2+4})/2)+k\pi, k,n \in Z$$, $$arctg((4n+1\pm\sqrt{(4n+1)^2-4})/2)+p\pi, n,p \in Z, n \ne 0$$
- $$\pi/2+n\pi$$
- Решения есть только при $$-2\leq a\leq 2$$. При таких $$a$$ имеем $$x=\pm (arccos((a^2-2)/2))/2+n\pi$$