Вступительный экзамен в ШАД 2014 Минск

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
Минск, Беларусь, 7 июня 2014

Условия задач

1. Стержень длины L произвольным образом разламывают на две части и выбрасывают меньшую часть. Затем оставшуюся часть ломают и снова выбрасывают меньшую часть. Найдите вероятность того, что длина оставшейся части не меньше L/2.
2. Найдите минимум и максимум функции \(f(x,y)=x^2+y^2-12x+16y\) на круге \(x^2+y^2\le5^2\).
3. Сколько 2014-значных чисел, составленных из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 9, делится на 7?
4. В социальной сети зарегистрировано \(n\) человек. Каждый участник может подписываться на сообщения других участников, причем если человек А подписан на B, то из этого не следует, что B подписан на A. Известно, что среди зарегистрированных пользователей есть знаменитость – человек, на которого подписаны все \(n-1\) других пользователей, но сам он не подписан ни на кого. При помощи одного запроса к серверу вы можете определить, подписан ли человек А на сообщения человека В. Предложите алгоритм, позволяющий найти знаменитость за не более чем \(n\) запросов.
5. Найдите сумму ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{2^n}{n!}\).
6. Квадратная матрица А размера n x n строится следующий образом: \(a_{ij}=1\), если \(i\) делит \(j\), и \(a_{ij}=0\) иначе. Вычислите определитель матрицы А.
7. В коридоре длины L находятся n роботов, i-й из которых изначально расположен в позиции \(x_i\) (все позиции различны, \(0\le x_i\le L\). Все роботы движутся с единичной скоростью вдоль коридора, \(i\)-й робот движется со скоростью \(v_i\) (\(\pm 1\)). При столкновении робота с границей коридора или с другим роботом направление вектора скорости робота меняется на противоположное. Прошло t единиц времени … . a) Требуется найти множество точек, в которых находятся роботы (без учета порядка: не важно, какой робот находится в какой точке; точки в множестве не должны повторяться); б) Для каждого робота \(i\) необходимо указать его финальное положение \(y_i\) в коридоре. Предложите эффективный алгоритм решения этих задач.

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов