Вступительный экзамен в ШАД 2018
Вступительный экзамен в Школу анализа данных
9 июня 2018
Условия задач
- Пусть \(A\) – квадратная матрица \(n\)x\(n\). Докажите, что \(n-rkA\geq rkA-rkA^2\)
- Сколькими способами \(n\) различных четных чисел и \(n\) различных нечетных чисел можно записать в таблицу \(2\)x\(n\) таким образом, чтобы нечетное число никогда не стояло под четным? Ответ должен содержать не более одной суммы.
- На станцию приходят в случайное время две электрички. Времена их приходов независимы и имеют экспоненциальное распределение с плотностью \( e^{-x}\cdot I\){\(x>0\)}. Студент приходит на станцию в момент времени 2. Найдите
a) вероятность того, что он сможет уехать хотя бы на одной электричке;
б) математическое ожидание времени ожидания студентом ближайшей электрички (считаем, что время ожидания равно нулю, если студент опоздал на обе электрички). - Верно ли, что всякая нечетная непрерывная функция, удовлетворяющая условию \(f(2x)=2f(x)\), линейна?
- Пусть \(A\) и \(B\) – ортогональные матрицы (не ортогональные друг другу, а просто ортогональные!). Докажите, что \(det(A^TB-B^TA)=det(A+B)\cdot det(A-B)\).
- Назовем элемент прямоугольной матрицы седлом, если он является наибольшим в своей строке и наименьшим в своем столбце или наоборот. Придумайте алгоритм, за \(O(nm)\) операций находящий все седла в матрице \(A[1..n][1..m]\), использующий не более \(O(n+m)\) памяти и не более 1 раза обращающийся к каждому элементу \(A\) (можете считать, что элемент \(A[i][j]\) превращается в \(NaN\) сразу после вызова \(A[i][j]\)). Считайте, что все элементы матрицы различны.
- В компании «Тындекс» работает 100 сотрудников, некоторые из них знакомы друг с другом. Докажите, что найдется такая пара из них, для которой существует хотя бы 50 сотрудников, каждый из которых либо знаком с обоими людьми в этой паре, либо не знаком ни с одним из этой пары.
- Пусть {\(\xi_n\)}\(_{n\geq1}\) – последовательность случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Сходится ли ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}P(\xi_n>\sqrt{2ln(n)+2ln(ln(n))})\)?
смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов