Задачи по комбинаторике

  1. Вычислите C_{15}^{13}-C_{30}^7.
  2. Вычислите A_5^3+A_6^3+A_7^3.
  3. Найдите C_n^{10}, если C_{n-3}^2=21.
  4. Докажите, что C_{n-k-1}^{k-1}+C_{n-k}^k=\frac{n}{n-k}C_{n-k}^k.
  5. Найдите количество рациональных слагаемых в разложении (\sqrt{2}+\sqrt[4]{3})^{100}.
  6. Сколько существует различных тринадцатизначных телефонных номеров?
  7. Пароль в системе безопасности состоит из двух букв и четырехзначного десятичного числа (количество различных букв равно 29). Найдите количество различных паролей, которые необходимо проанализировать при “грубом” взломе системы (полном переборе).
  8. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный?
  9. Анаграммой называется произвольное слово, полученное из данного слова перестановкой букв. Сколько анаграмм можно составить из слова: а) “точка”; б) “прямая”; в) “биссектриса”; г) “комбинаторика”?
  10. Среди десяти книг четыре – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книге на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?
  11. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
  12. В турнире по шахматам каждый участник сыграл с каждым по одной партии, всего было сыграно 36 партий. Определите количество участников турнира.
  13. Сколькими способами на одной полке можно разместить шесть  книг по физике и шесть книг по математике так, чтобы книги по физике стояли правее всех книг по математике?
  14. Расписание одного дня содержит пять уроков по разным предметам. Определите количества таких расписаний при выборе из одиннадцати предметов.
  15. Лифт останавливается на десяти этажах. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками восемь пассажиров, находящихся в кабине лифта?
  16. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 123153?
  17. Дано шесть цифр: 0, 1, 2, 3, 4 и 5. Найдите сумму всех четырехзначных четных чисел, которые можно написать этими цифрами (одна и та же цифра может повторяться).
  18. Каждая сторона в треугольнике ABC разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки А, В и С не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна из сторон не параллельна ни одной из сторон треугольника АВС?
  19. Сколькими способами можно выбрать из целых чисел от 1 до 100 три числа так, чтобы их сумма делилась на 3?
  20. Сколько среди целых чисел от 100 до 10000 таких, в записи которых встречаются ровно 3 одинаковых цифры?
  21. Сколькими способами можно раздать 27 книг лицам А, В и С так, чтобы А и В вместе получили вдвое больше книг, чем С?
  22. Шесть ящиков занумерованы цифрами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров (некоторые ящики могут быть пустыми)?