Задачи по геометрии

Векторы

1. Дан вектор \(\overrightarrow{AB}(4;6)\). Найдите его длину.
2. Даны точки A(3;4) и B(0;5). Найдите длину отрезка AB.
3. Длина вектора \(\overrightarrow{a}(x; 12)\) равна 13. Найдите \(x\).
4. Даны точки A(4;0), B(7;4), C(-4;6). Найдите длины векторов \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\).
5. Даны векторы \(\overrightarrow{a}(2;3)\) и \(\overrightarrow{b}(-2;8)\). Найдите координаты вектора \(2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\)
6. Даны два вектора \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Постройте векторы \(-2\overrightarrow{a}\), \(0.5\overrightarrow{b}\) и \(-\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\).
7. Даны векторы \(\overrightarrow{a}(-2;-3)\), \(\overrightarrow{b}(5;0)\) и \(\overrightarrow{c}(3;-5)\). Найдите координаты векторов \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) и \(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\).
8. Даны точки A(0;0), B(1;1), C(0;2), D(-1;1). Является ли четырехугольник ABCD квадратом?
9. Являются ли коллинеарными векторы \(\overrightarrow{a}(-3,2,5)\) и \(\overrightarrow{b}(9,-6,-15)\)?
10. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках A(3,2), B(-1,6), C(-2,3) и D(2,-1) является параллелограммом.
11. Найти угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), если A(-1,3,5), B(2,1,-1) и C(0,2,1).
12. \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}\), \(\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}\). Найдите длины этих векторов и косинус угла между ними.
13. Найдите \(x\), если векторы \(\overrightarrow{a}(2,-3,-1)\) и \(\overrightarrow{b}(x,-2,-4)\) перпендикулярны.
14. Докажите, что четырехугольник с вершинами A(-5,3,4), B(-1,-7,5), C(6,-5,-3) и D(2,5-4) является квадратом.
15. Найти длину и направляющие косинусы вектора \(\overrightarrow{p}=3\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\), если \(\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}\), \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\), \(\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}\)
16. При каких \(\alpha\), \(\beta\) векторы \(\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\alpha\overrightarrow{k}\) и \(\overrightarrow{b}=\beta\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}\) коллинеарны?
17. Известно, что \(|\overrightarrow{a}|=3\), \(|\overrightarrow{b}|=4\), угол между \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) равен \(2\pi/3\). Найти \((3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\)
18. При каком \(\alpha\) векторы \(\overrightarrow{a}+\alpha\overrightarrow{b}\) и  \(\overrightarrow{a}-\alpha\overrightarrow{b}\) перпендикулярны, если \(|\overrightarrow{a}|=3\), \(|\overrightarrow{b}|=5\).
19. Найдите угол между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), если \((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2+(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})^2=20\), \(|\overrightarrow{a}|=1\), \(|\overrightarrow{b}|=2\).
20. Найдите проекцию вектора \(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) на вектор \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\), если \(|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1\) и угол между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) равен \(120^\circ\).
21. Найдите координаты вектора \(\overrightarrow{x}\), коллинеарного вектору \(\overrightarrow{a}(2,1,-2)\) и удовлетворяющего условию \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{x}=3\)
22. Вектор \(\overrightarrow{x}\) перпендикулярен векторам \(\overrightarrow{a}(2,3,-1)\), \(\overrightarrow{b}(1,-2,3)\) и удовлетворяет условию \(\overrightarrow{x}(2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})=-6\). Найдите координаты вектора \(\overrightarrow{x}\)
23. Угол между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) равен \(\pi/4\) и \(|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=5\). Найдите площадь треугольника, построенного на векторах \(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\) и \(3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)
24. Найдите координаты вершины D треугольной пирамиды ABCD, если она лежит на оси Oy, объем пирамиды равен 29 и A(-1, 10, 0), B(0, 5, 2), C(6, 32, 2)

все разделы по геометрии

Ответы

1) \(\sqrt{52}\); 2) \(\sqrt{10}\); 3) \(\pm 5\); 5) \((14; -34)\) 9) да 11) \(\mathrm{arccos}\frac{29}{21\sqrt{2}}\) 12) \(\sqrt{3},\sqrt{14}, \frac{6}{\sqrt{42}}\) 13) -5 21) (2/3; 1/3; -2/3) 22) (-3; 3; 3) 24) (0; 0; 0) или (0,29,0)