Уравнения с модулем с решениями (часть 1)
1. Найдите корни уравнения \(|x|\cdot(x+3)=-2\)
Решение
Так как \(-2<0\) и \(|x|\ge0\) для любого \(x\), то \(x+3<0\Leftrightarrow x<-3\). Поэтому \(|x|=-x\) и уравнение принимает вид \(-x\cdot(x+3)=-2\Leftrightarrow x^2+3x-2=0\), откуда \(x=\displaystyle\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}\). Условию \(x<-3\) удовлетворяет только число \(\displaystyle\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\).
Ответ: \(\displaystyle\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\)
2. Найдите сумму корней уравнения \(x^2+|x-1|=5\)
Решение
www.itmathrepetitor.ru Раскроем модуль. Для этого рассмотрим первый случай: \(x-1\ge0\). Тогда \(x^2+x-1=5\Leftrightarrow x^2+x-6=0\). Корнями этого уравнения являются числа \(-3\) и \(2\). После проверки \(x\ge1\) остается только \(2\).
Второй случай: \(x-1<0\). Тогда \(x^2-x+1=5\Leftrightarrow x^2-x-4=0\), откуда \(x=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}\). Условию \(x<1\) удовлетворяет только \(\displaystyle\frac{1-\sqrt{17}}{2}\).
Сумма корней равна \(2+\displaystyle\frac{1-\sqrt{17}}{2}=\displaystyle\frac{5-\sqrt{17}}{2}\)
Ответ: \(\displaystyle\frac{5-\sqrt{17}}{2}\)
3. Найдите произведение корней уравнения \(x^2-12=|x|\).
Решение
Пусть \(|x|=t\), тогда \(t^2-t-12=0\), откуда \(t=4\) или \(t=-3\), то есть \(|x|=4\) или \(|x|=-3\). Первое уравнение имеет корни \(\pm4\), второе уравнение корней не имеет, так как \(-3<0\). Значит, произведение корней исходного уравнения равно \(-16\).
Ответ: \(-16\)
4. Найдите сумму корней уравнения \(x^2-4x+2=\displaystyle\frac{|5x-4|}{3}\)
Решение
www.itmathrepetitor.ru \(x^2-4x+2=\displaystyle\frac{|5x-4|}{3}\Leftrightarrow|5x-4|=3x^2-12x+6\), что равносильно \(\left[\begin{gathered}5x-4=3x^2-12x+6,\\5x-4=-3x^2+12x-6\end{gathered} \right.\) при условии \(3x^2-12x+6\ge0\Leftrightarrow x\in(-\infty;2-\sqrt{2}]\cup[2+\sqrt{2};+\infty)\). Корнями первого уравнения совокупности являются числа \(5\) и \(\displaystyle\frac{1}{3}\), корнями второго – числа \(2\) и \(\displaystyle\frac{1}{3}\). Неравенству удовлетворяют только \(5\) и \(\displaystyle\frac{1}{3}\). Значит, сумма корней исходного уравнения равна \(5\displaystyle\frac{1}{3}\).
Ответ: \(5\displaystyle\frac{1}{3}\)
5. Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения \(x^2+\sqrt{x^2}=2,75\)
Решение
\(x^2+\sqrt{x^2}=2,75\Leftrightarrow x^2+|x|=2,75\). Пусть \(|x|=t\), тогда \(t^2+t-\displaystyle\frac{11}{4}=0\) и \(t=\displaystyle\frac{-1\pm2\sqrt{3}}{2}\), то есть \(|x|=\displaystyle\frac{-1-2\sqrt{3}}{2}\) или \(|x|=\displaystyle\frac{-1+2\sqrt{3}}{2}\). Первое уравнение корней не имеет, так как \(\displaystyle\frac{-1-2\sqrt{3}}{2}<0\). Из второго следует, что \(x=\pm\displaystyle\frac{2\sqrt{3}-1}{2}\). Сумма этих корней равна \(2\sqrt{3}-1\).
Ответ: \(2\sqrt{3}-1\)
6. Найдите сумму корней уравнения \(|x-\sqrt{3}|=\sqrt{3}\cdot|x-1|\)
Решение
Уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{gathered}x-\sqrt{3}=\sqrt{3}x-\sqrt{3},\\x-\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{3}x\end{gathered} \right.\), откуда \(\left[\begin{gathered}x=0,\\x=\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\end{gathered} \right.\) Избавимся от знаменателя: \(\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2}=3-\sqrt{3}\).
Ответ: \(3-\sqrt{3}\)
7. Найдите сумму корней уравнения \(|x-2|=3\cdot|x+2|\)
Решение
www.itmathrepetitor.ru Уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{gathered}x-2=3x+6,\\x-2=-3x-6\end{gathered} \right.\), откуда \(\left[\begin{gathered}x=-4,\\x=-1\end{gathered} \right.\). Сумма корней равна \(-5\).
Ответ: \(-5\)
8. Решите уравнение \(|x-7|-|x+2|=9\)
Решение
Нули модулей равны \(7\) и \(-2\). Рассмотрим три случая: \(x\le-2, -2<x\le7, x>7\). Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.
Первый случай. \(x\le-2\)
\(-x+7+x+2=9\Leftrightarrow0=0\), то есть \(x\) – любое число. С учетом ограничения случая, \(x\le-2\).
Второй случай. \(-2<x\le7\)
\(-x+7-x-2=9\Leftrightarrow x=-2\). С учетом ограничения случая, корней нет.
Третий случай. \(x>7\)
\(x-7-x-2=9\Leftrightarrow-9=9\), то есть корней нет.
Ответ: \((-\infty;-2]\)
9. Найдите сумму корней уравнения \(3\cdot|x-1|=|2x-1|+3\)
Решение
Нули модулей равны \(1/2\) и \(1\). Рассмотрим три случая: \(x\le1/2, 1/2<x\le1, x>1\). Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.
Первый случай. \(x\le1/2\)
\(-3x+3=-2x+1+3\Leftrightarrow x=-1\). Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.
Второй случай. \(1/2<x\le1\)
\(-3x+3=2x-1+3\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{5}\). С учетом ограничения случая, корней нет.
Третий случай. \(x>1\)
\(3x-3=2x-1+3\Leftrightarrow x=5\). Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.
Сумма корней исходного уравнения равна \(-1+5=4\).
Ответ: \(4\)
10. Найдите произведение корней уравнения \(|x^2-3x-5|=|x+1|\)
Решение
Уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{gathered}x^2-3x-5=x+1,\\x^2-3x-5=-x-1\end{gathered} \right.\), откуда \(\left[\begin{gathered}x=2\pm\sqrt{10},\\x=1\pm\sqrt{5}\end{gathered} \right.\). Произведение корней равно \(24\).
Ответ: \(24\)