Уравнения с модулем с решениями (часть 1)

перейти к содержанию

Свойства модуля (справочник)

1. Найдите корни уравнения $|x|\cdot(x+3)=-2$

Решение

Так как $-2<0$ и $|x|\ge0$ для любого $x$, то $x+3<0\Leftrightarrow x<-3$. Поэтому $|x|=-x$ и уравнение принимает вид $-x\cdot(x+3)=-2\Leftrightarrow x^2+3x-2=0$, откуда $x=\displaystyle\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}$. Условию $x<-3$ удовлетворяет только число $\displaystyle\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $\displaystyle\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$

2. Найдите сумму корней уравнения $x^2+|x-1|=5$

Решение

www.itmathrepetitor.ru Раскроем модуль. Для этого рассмотрим первый случай: $x-1\ge0$. Тогда $x^2+x-1=5\Leftrightarrow x^2+x-6=0$. Корнями этого уравнения являются числа $-3$ и $2$. После проверки $x\ge1$ остается только $2$.

Второй случай: $x-1<0$. Тогда $x^2-x+1=5\Leftrightarrow x^2-x-4=0$, откуда $x=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$. Условию $x<1$ удовлетворяет только $\displaystyle\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.

Сумма корней равна $2+\displaystyle\frac{1-\sqrt{17}}{2}=\displaystyle\frac{5-\sqrt{17}}{2}$

Ответ: $\displaystyle\frac{5-\sqrt{17}}{2}$

3. Найдите произведение корней уравнения $x^2-12=|x|$.

Решение

Пусть $|x|=t$, тогда $t^2-t-12=0$, откуда $t=4$ или $t=-3$, то есть $|x|=4$ или $|x|=-3$. Первое уравнение имеет корни $\pm4$, второе уравнение корней не имеет, так как $-3<0$. Значит, произведение корней исходного уравнения равно $-16$.

Ответ: $-16$

4. Найдите сумму корней уравнения $x^2-4x+2=\displaystyle\frac{|5x-4|}{3}$

Решение

www.itmathrepetitor.ru $x^2-4x+2=\displaystyle\frac{|5x-4|}{3}\Leftrightarrow|5x-4|=3x^2-12x+6$, что равносильно $\left[\begin{gathered}5x-4=3x^2-12x+6,\\5x-4=-3x^2+12x-6\end{gathered} \right.$ при условии $3x^2-12x+6\ge0\Leftrightarrow x\in(-\infty;2-\sqrt{2}]\cup[2+\sqrt{2};+\infty)$. Корнями первого уравнения совокупности являются числа $5$ и $\displaystyle\frac{1}{3}$, корнями второго - числа $2$ и $\displaystyle\frac{1}{3}$. Неравенству удовлетворяют только $5$ и $\displaystyle\frac{1}{3}$. Значит, сумма корней исходного уравнения равна $5\displaystyle\frac{1}{3}$.

Ответ: $5\displaystyle\frac{1}{3}$

5. Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $x^2+\sqrt{x^2}=2,75$

Решение

$x^2+\sqrt{x^2}=2,75\Leftrightarrow x^2+|x|=2,75$. Пусть $|x|=t$, тогда $t^2+t-\displaystyle\frac{11}{4}=0$ и $t=\displaystyle\frac{-1\pm2\sqrt{3}}{2}$, то есть $|x|=\displaystyle\frac{-1-2\sqrt{3}}{2}$ или $|x|=\displaystyle\frac{-1+2\sqrt{3}}{2}$. Первое уравнение корней не имеет, так как $\displaystyle\frac{-1-2\sqrt{3}}{2}<0$. Из второго следует, что $x=\pm\displaystyle\frac{2\sqrt{3}-1}{2}$. Сумма этих корней равна $2\sqrt{3}-1$.

Ответ: $2\sqrt{3}-1$

6. Найдите сумму корней уравнения $|x-\sqrt{3}|=\sqrt{3}\cdot|x-1|$

Решение

Уравнение равносильно совокупности $\left[\begin{gathered}x-\sqrt{3}=\sqrt{3}x-\sqrt{3},\\x-\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{3}x\end{gathered} \right.$, откуда $\left[\begin{gathered}x=0,\\x=\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\end{gathered} \right.$ Избавимся от знаменателя: $\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2}=3-\sqrt{3}$.

Ответ: $3-\sqrt{3}$

7. Найдите сумму корней уравнения $|x-2|=3\cdot|x+2|$

Решение

www.itmathrepetitor.ru Уравнение равносильно совокупности $\left[\begin{gathered}x-2=3x+6,\\x-2=-3x-6\end{gathered} \right.$, откуда $\left[\begin{gathered}x=-4,\\x=-1\end{gathered} \right.$. Сумма корней равна $-5$.

Ответ: $-5$

8. Решите уравнение $|x-7|-|x+2|=9$

Решение

Нули модулей равны $7$ и $-2$. Рассмотрим три случая: $x\le-2, -2<x\le7, x>7$. Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай. $x\le-2$

$-x+7+x+2=9\Leftrightarrow0=0$, то есть $x$ - любое число. С учетом ограничения случая, $x\le-2$.

Второй случай. $-2<x\le7$

$-x+7-x-2=9\Leftrightarrow x=-2$. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. $x>7$

$x-7-x-2=9\Leftrightarrow-9=9$, то есть корней нет.

Ответ: $(-\infty;-2]$

9. Найдите сумму корней уравнения $3\cdot|x-1|=|2x-1|+3$

Решение

Нули модулей равны $1/2$ и $1$. Рассмотрим три случая: $x\le1/2, 1/2<x\le1, x>1$. Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай. $x\le1/2$

$-3x+3=-2x+1+3\Leftrightarrow x=-1$. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Второй случай. $1/2<x\le1$

$-3x+3=2x-1+3\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{5}$. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. $x>1$

$3x-3=2x-1+3\Leftrightarrow x=5$. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Сумма корней исходного уравнения равна $-1+5=4$.

Ответ: $4$

10. Найдите произведение корней уравнения $|x^2-3x-5|=|x+1|$

Решение

Уравнение равносильно совокупности $\left[\begin{gathered}x^2-3x-5=x+1,\\x^2-3x-5=-x-1\end{gathered} \right.$, откуда $\left[\begin{gathered}x=2\pm\sqrt{10},\\x=1\pm\sqrt{5}\end{gathered} \right.$. Произведение корней равно $24$.

Ответ: $24$

смотрите раздел "Математика"