Решение уравнений с модулем (часть 2)

Уравнения с модулем с решениями (часть 2)

11. Найдите среднее арифметическое корней уравнения $|x^3-8x+4|=8x+4$

Решение

Уравнение равносильно совокупности $\left[\begin{gathered}x^3-8x+4=8x+4,\\x^3-8x+4=-8x-4\end{gathered} \right.$ при условии $8x+4\ge0\Leftrightarrow x\in[-0,5;+\infty)$ . Уравнения можно упростить к виду $\left[\begin{gathered}x(x-4)(x+4)=0,\\x^3=-8\end{gathered} \right.$ , откуда $x=0$ , $x=-2$ или $x=\pm 4$ . Неравенству удовлетворяют только $0$ и $4$ . Среднее арифметическое корней равно $\displaystyle\frac{0+4}{2}=2$ .

Ответ: $2$

12. Решите уравнение $\displaystyle\frac{|x-1|+|x+3|-4}{\sqrt{7-x^2}}=0$

Решение

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то $7-x^2>0\Leftrightarrow x\in (-\sqrt{7};\sqrt{7})$ . Рассмотрим два случая: $x\in(-\sqrt{7};1]$ и $x\in(1;\sqrt{7})$ .

Первом случае числитель равен $-x+1+x+3-4=0\Leftrightarrow0=0$ , то есть все числа из промежутка $(-\sqrt{7};1]$ являются решением исходного уравнения.

Во втором случае $x-1+x+3-4=0\Leftrightarrow x=1$ . Но $x\in(1;\sqrt{7})$ . Поэтому корней нет.

Ответ: $(-\sqrt{7};1]$

13. Решите уравнение $\displaystyle\frac{|2x+1|-|2x-3|-4}{\sqrt{x^2-5x-6}}=0$

Решение

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то $x^2-5x-6>0\Leftrightarrow x\in (-\infty;-1)\cup(6;+\infty)$ . Рассмотрим два случая: $x\in(-\infty;-1)$ и $x\in(6;\infty)$ .

Первом случае числитель равен $-2x-1+2x-3=4\Leftrightarrow-4=4$ , то есть корней нет.

Во втором случае $2x+1-2x+3-4=0\Leftrightarrow 0=0$ , то есть все числа из промежутка $(6;+\infty)$ являются решением исходного уравнения.

Ответ: $(6;+\infty)$

14. Найдите сумму корней уравнения $||x+1|-3|=3$

Решение

Уравнение равносильно совокупности $\left[\begin{gathered}|x+1|-3=3,\\|x+1|-3=-3\end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}|x+1|=6,\\|x+1|=0\end{gathered} \right.$ . Первое уравнение равносильно $\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}x+1=6,\\x+1=-6\end{gathered} \right.$ , откуда $x=5$ или $x=-7$ . Решением второго уравнения является $x=-1$ . Сумма корней равна $-1+5-7=-3$ .

Ответ: $-3$

15. Найдите количество целых корней уравнения $|2x^2-3x+4|=|3x-2|+2x^2+2$ на отрезке $[-5;5]$

Решение

$|2x^2+2|+|2-3x|=|2x^2-3x+4|$ . Применим следующее утверждение: $|a|+|b|=|a+b|\Leftrightarrow ab\ge0$ . Тогда $(2x^2+2)(2-3x)\ge0\Leftrightarrow 2-3x\ge 0$ $\Leftrightarrow x\le\displaystyle\frac{2}{3}$ . Целые числа: $-5,-4,-3,-2,-1,0$ .

Ответ: $6$

16. Найдите количество натуральных корней уравнения $|5x-x^2-8|+|x-9|=x^2-6x+17$

Решение

$|x^2-5x+8|+|9-x|=x^2-6x+17$ . Так как $|a|+|b|=a+b\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l l} a\ge0,\\ b\ge0�\end{array}\right.$ , то уравнение равносильно системе неравенств $\left\{\begin{array}{l l} 9-x\ge0,\\ x^2-5x+8\ge0�\end{array}\right.$ , откуда $x\le9$ . Натуральные корни исходного уравнения: $1,2,3,...,9$ .