Уравнения с модулем с решениями (часть 2)
11. Найдите среднее арифметическое корней уравнения \(|x^3-8x+4|=8x+4\)
Решение
Уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{gathered}x^3-8x+4=8x+4,\\x^3-8x+4=-8x-4\end{gathered} \right.\) при условии \(8x+4\ge0\Leftrightarrow x\in[-0,5;+\infty)\). Уравнения можно упростить к виду \(\left[\begin{gathered}x(x-4)(x+4)=0,\\x^3=-8\end{gathered} \right.\), откуда \(x=0\), \(x=-2\) или \(x=\pm 4\). Неравенству удовлетворяют только \(0\) и \(4\). Среднее арифметическое корней равно \(\displaystyle\frac{0+4}{2}=2\).
Ответ: \(2\)
12. Решите уравнение \(\displaystyle\frac{|x-1|+|x+3|-4}{\sqrt{7-x^2}}=0\)
Решение
Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то \(7-x^2>0\Leftrightarrow x\in (-\sqrt{7};\sqrt{7})\). Рассмотрим два случая: \(x\in(-\sqrt{7};1]\) и \(x\in(1;\sqrt{7})\).
Первом случае числитель равен \(-x+1+x+3-4=0\Leftrightarrow0=0\), то есть все числа из промежутка \((-\sqrt{7};1]\) являются решением исходного уравнения.
Во втором случае \(x-1+x+3-4=0\Leftrightarrow x=1\). Но \(x\in(1;\sqrt{7})\). Поэтому корней нет.
Ответ: \((-\sqrt{7};1]\)
13. Решите уравнение \(\displaystyle\frac{|2x+1|-|2x-3|-4}{\sqrt{x^2-5x-6}}=0\)
Решение
Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то \(x^2-5x-6>0\Leftrightarrow x\in (-\infty;-1)\cup(6;+\infty)\). Рассмотрим два случая: \(x\in(-\infty;-1)\) и \(x\in(6;\infty)\).
Первом случае числитель равен \(-2x-1+2x-3=4\Leftrightarrow-4=4\), то есть корней нет.
Во втором случае \(2x+1-2x+3-4=0\Leftrightarrow 0=0\), то есть все числа из промежутка \((6;+\infty)\) являются решением исходного уравнения.
Ответ: \((6;+\infty)\)
14. Найдите сумму корней уравнения \(||x+1|-3|=3\)
Решение
Уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{gathered}|x+1|-3=3,\\|x+1|-3=-3\end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}|x+1|=6,\\|x+1|=0\end{gathered} \right.\). Первое уравнение равносильно \(\Leftrightarrow\left[\begin{gathered}x+1=6,\\x+1=-6\end{gathered} \right.\), откуда \(x=5\) или \(x=-7\). Решением второго уравнения является \(x=-1\). Сумма корней равна \(-1+5-7=-3\).
Ответ: \(-3\)
15. Найдите количество целых корней уравнения \(|2x^2-3x+4|=|3x-2|+2x^2+2\) на отрезке \([-5;5]\)
Решение
\(|2x^2+2|+|2-3x|=|2x^2-3x+4|\). Применим следующее утверждение: \(|a|+|b|=|a+b|\Leftrightarrow ab\ge0\). Тогда \((2x^2+2)(2-3x)\ge0\Leftrightarrow 2-3x\ge 0\) \(\Leftrightarrow x\le\displaystyle\frac{2}{3}\). Целые числа: \(-5,-4,-3,-2,-1,0\).
Ответ: \(6\)
16. Найдите количество натуральных корней уравнения \(|5x-x^2-8|+|x-9|=x^2-6x+17\)
Решение
\(|x^2-5x+8|+|9-x|=x^2-6x+17\). Так как \(|a|+|b|=a+b\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l l} a\ge0,\\ b\ge0 \end{array}\right.\), то уравнение равносильно системе неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} 9-x\ge0,\\ x^2-5x+8\ge0 \end{array}\right.\), откуда \(x\le9\). Натуральные корни исходного уравнения: \(1,2,3,…,9\).
Ответ: \(9\)
17. Определите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|x+4|+|x-10|=a\) имеет ровно два корня.
Решение
Ответ: \((14;+\infty)\)
18. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|x-10|+|x+2|=a\) имеет бесконечно много корней?
Решение
Ответ: \(12\)
19. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|2-|x-1||=a\) имеет ровно четыре корня?
Решение
Ответ: \((0;2)\)
20. При каких значениях параметра \(a\) система \(\left\{\begin{array}{l l} |x|+|y|=1,\\ y=a-|x|\end{array}\right.\) имеет более одного решения?
Решение
Ответ: \((-1;1]\)