Решение пробного ЕГЭ 2015 по математике (март) Профильный уровень 11 класс
- Для покраски 67 кв. м необходимо г краски. Это кг. Значит, количество банок необходимо . Но так как количество банок должно быть целым числом, то округляем, причем в большую сторону, так как округление в меньшую сторону означает, что краски на весь потолок не хватит. Значит, 8 банок.
- Одна клетка вдоль оси ординат (это вертикаль) значит 4 г. За первые три минуту функция изменила значение на 3 клетки, что соответствует 12 г. То есть 12 г вступило в реакцию за первые три минуты.
- Для каменного фундамента необходимо р. Для бетонного необходимо р. Дешевле будет стоить каменный фундамент.
- Похожая задача разбирается здесь (номер B5). Обрамим треугольник прямоугольником так, что все вершины треугольника принадлежат сторонам прямоугольника, а одна вершина еще и совпадает с вершиной прямоугольника. Такой прямоугольник состоит из исходного закрашенного треугольника и еще трех прямоугольных незакрашенных треугольников. Площадь закрашенного можно найти как разность площади прямоугольника и суммы площадей трех незакрашенных:
- Вероятность того, что чайник выйдет из строя в течение первых пяти лет равна . И это вероятность равна сумме вероятностей двух несовместных событий: чайник вышел из строя в течение первых двух лет работы и чайник вышел из строя в течение следующих трех лет работы. Тогда , откуда .
- Так как и , то уравнение принимает вид , то есть и .
- Синус угла А равен , откуда равно 16. Так как (по метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике), то равно . Значит, . Кстати, при нахождении каких-либо элементов треугольника себя всегда можно проверить здесь.
- Если производная положительна на каком-либо интервале, то соответствующая функция на этом интервале возрастает. Поэтому на [-7; -3] возрастает, хотя производная то убывает, то возрастает. А важен только знак производной - и она положительна. Получается, что функция начинает движение с точки и далее все время возрастает. Значит, наименьшее значение в точке . Здесь в решении для простоты объяснения допущены некоторые вольности в фразах.
- Многогранник является треугольной пирамидой с основанием и высотой . Поэтому его объем равен .
- В решении нам пригодятся формулы приведения и формула для синуса двойного угла. Заметим, что и . Тогда выражение принимает вид . Домножим числитель и знаменатель дроби на и тогда к знаменателю применима формула для синуса двойного угла. После сокращения получаем .
- Поставим известные данные в формулу . Получим . И перейдем к неравенству , которое решим методом интервалов. Перенесем в левую часть, приведем к общему знаменателю дроби и получим в итоге, что . Откуда и наибольшее значение равно .
- Вспомним две формулы: объем шара равен и объем конуса равен . Но в данном конусе высота равна радиусу шара, так как центр шара совпадает с центром основания конуса. Значит, , откуда . И объем конуса равен .
- Производительность первого переводчика равна стр/день, второго - стр/день. Если первый возьмет себе страниц, то второму останется стр. Так как время работы каждого переводчика одинаково, то , откуда . Значит, первый переводчик должен взять себе на стр меньше.
- Производная функции равна . Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение: (сократили на положительное выражение без потери корней). Тогда , откуда или . Производная меняет знак с "+" на "-" только в точке .
- а) Возведем правую и левую части уравнения в квадрат. Однако, данное преобразование может привести к появлению посторонних корней. Поэтому дополнительно требуем, чтобы . Получаем уравнение . Здесь полезно повторить тригонометрические формулы. Решаем данное уравнение как квадратное относительно . Тогда . (второй корень ). Так как должен быть неположительным, то .
б) Решим двойное неравенство . Так как , то есть целое число, то или . Подставляем данные значения в формулу и находим два конкретных угла. - Проведем через точку М прямую, параллельную AD, до пересечения в точке К с прямой SB. Точка К существует, так как прямая AD параллельна плоскости BSC. Тогда ADMK - искомое сечение. В равнобедренном треугольнике SDC известны все стороны, поэтому медиану DM без труда можно найти по формуле (подробнее смотрите справочник). Медиана равна . При нахождении каких-либо элементов треугольника себя всегда можно проверить здесь. Тогда в трапеции ADMK известны боковые стороны DM=AK и нижнее основание AD. Верхнее основание KM равно , так как KM - средняя линия треугольника SBC. Осталось найти площадь равнобедренной трапеции, если известны все стороны. Для этого можно из точек K и M провести две высоты KH и MT на AD. Тогда TD равно . И после нахождения высоты по теореме Пифагора в треугольнике MTD применить формулу площади трапеции .
- В этом примере полезно вспомнить, что можно заменить на эквивалентное по знаку выражение (и учесть область определения логарифмов, конечно же). Повторить свойства логарифмов. Этот факт пригодится в конце решения. А пока упростим все слагаемые (и помним, что при преобразованиях меняются ограничения на , которые проверим в конце решения): . Так как из-за существования логарифма в левой части, то и неравенство принимает вид . Откуда с учетом ограничений исходного неравенства получаем ответ. Самое важное: не забыть модуль, когда выносим четную степень; не забыть, что свойство применимо только при . Поэтому при разложении левой части в начале решения разложение квадратного трехчлена именно такое , а не .
- Если - сумма в рублях, которую Васильев каждый год вкладывает в банк, то - сумма через год, - новый вклад через год, - сумма через два года и так далее. Приходим к равенству . Решив это линейное уравнение, получим .
- Когда-то давно задачи такого типа часто встречались на вступительных экзаменах в МФТИ. И это радует. Каждую пару можно рассматривать как точку на плоскости в заданной системе координат. Тогда система уравнений - это точки пересечения графиков уравнений. Второе уравнение системы является уравнением окружности, если . Тогда ее центр находится в точке , а радиус равен . Так как - параметр, то данная окружность имеет фиксированный центр и произвольный радиус, который мы можем регулировать параметром. Необходимо подобрать такой параметр, чтобы окружность пересекла график первого уравнения только в одной точке. Первое уравнение преобразуем к виду . Если вспомнить, что расстояние между двумя точками на плоскости может быть найдено по формуле , то становится понятно, почему первое уравнение геометрически означает, что сумма расстояния от точки до точки и расстояния от точки до точки равна . Но расстояние между точками и равно 2, поэтому точка может быть только на отрезке между этими двумя точками. То есть графиком первого уравнения является отрезок. Осталось выбрать такое , чтобы окружность пересекла отрезок ровно в одной точке.
- а) Довольно быстро строится пример: . Вопрос только в фразе "Между ними произвольным образом расставляют знаки", то есть первое число не может стать . Поэтому такой пример, строго говоря, недопустим. Но, наверное, это замечание не стоит учитывать. б) Заметим, что . Следовательно, можно изучить серии чисел из восьмерок. Если окажется, что в разбиении на восьмерки числа каждая восьмерка чисел может давать в сумме ноль, то решение найдено. Действительно, такое разбиение существует (это восьмерки последовательных чисел) и знаки в каждой из них можно выбрать такие: +, -, -, +, -, +, +, -. в) Рассмотреть остаток от деления на 4.
смотрите еще Досрочный ЕГЭ март, 2015 по математике с ответами и решениями
В 6 задании
спасибо, в ответах правильно, здесь же опечатка