Студенческая олимпиада МФТИ 1993
Условия задач с ответами
1.1 Найдите наибольшее значение функции на единичном кубе
.
1.2 Найдите решение матричного дифференциального уравнения , где
- постоянные матрицы порядка
, удовлетворяющие условию
.
2. В квадратной матрице порядка
на главной диагонали стоят нули, а остальные элементы равны
. Докажите, что
.
3. Частица движется из точки А в точку B по прямой, не меняя направления движения. Расстояние , время движения равно 1, в начальный и конечный моменты времени движения скорость равна нулю. Докажите, что в некоторый момент времени абсолютная величина ускорения частицы равна 4.
4.1 Существует ли непрерывная функция , принимающая рациональные значения в иррациональных точках и иррациональные значения в рациональных точках?
4.2 Докажите, что функция , где
, принимает как положительные, так и отрицательные значения.
5.1 Пусть A и B - замкнутые выпуклые множества на плоскости. Следует ли отсюда, что их сумма тоже замкнутое множество?
5.2 Известно, что все корни полинома с комплексными коэффициентами - чисто мнимые. Докажите, что при любом действительном
выполнено неравенство
.
6.1 Можно ли число представить как
, где
- последовательности натуральных чисел?
6.2 Докажите, что при справедливо равенство
.
1.1 2
1.2
4.1 Нет
5.1 Нет
6.1 Да
к разделу Олимпиадные студенческие задачи