Тренировочная работа ЕГЭ по математике 21 декабря 2017 года

Тренировочная работа ЕГЭ по математике 21 декабря 2017 года

13. а) Решите уравнение $\sin2x+2\cos^2x+\cos2x=0$ ;

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-9\pi/2;-3\pi]$ .

14. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.
а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

15. Решите неравенство $\log_6(64^x+36^x-65\cdot8^x+64)\ge2x$

16. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон BC, AB и AC в точках K, L и M соответственно. Прямая KM вторично пересекает в точке P окружность радиуса AM с центром A.
а) Докажите, что прямая AP параллельна прямой BC.
б) Пусть ∠ABC = 90°, AM = 3, CM = 2, Q — точка пересечения прямых KM и AB, а T — такая точка на отрезке PQ, что ∠OAT = 45°. Найдите QT.

17. Строительство нового завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $0,5x^2+x+9$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px-(0,5x^2+x+9)$ .
Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не более чем за 5 лет?

18. Найдите все целые отрицательные значения параметра а, при каждом из которых существует такое действительное число $b>a$ , что неравенство $21b\ge6|a+b|-3|b-2|-|a-b|-9|a^2-b+2|+16$ не выполнено.
Шесть экспертов оценивали фильм. Каждый из них выставил оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Все эксперты выставили различные оценки. Старый рейтинг фильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. Новый рейтинг фильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и подсчитывается среднее арифметическое четырёх оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $\displaystyle\frac{1}{18}$ ?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $\displaystyle\frac{1}{12}$ ?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности старого и нового рейтингов.