Комбинаторика и теория вероятностей
- \(n!=1\cdot2\cdot…\cdot(n-1)\cdot{n}\), \(n\in{N}\)
- \(0!=1\)
- \(С_ n^k=\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
- \(A_n^k=\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}\)
Классическое определение вероятности
\(P(A)=\displaystyle\frac{m}{n}\)
Теорема сложения вероятностей событий
\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)
Теорема умножения вероятностей независимых событий
\(P(AB)=P(A)\cdot{P}(B)\)
Условная вероятность события
\(P(B|A)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(A)}\)
Формула полной вероятности
\(P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+P(H_2)P(A|H_2)+…+P(H_k)P(A|H_k)\)
Формула Байеса
\(P(H_i|A)=\displaystyle\frac{P(H_i)P(A|H_i)}{P(H_1)P(A|H_1)+P(H_2)P(A|H_2)+…+P(H_k)P(A|H_k)}\)
Формула Бернулли
Вероятность появления события \(A\) ровно \(k\) раз при \(n\) независимых испытаний, \(p\) – вероятность появления события \(A\) при каждом испытании:
\(P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\)
Математическое ожидание случайной величины
\(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+…+x_np_n\)
\(E(C)=C\)
\(E(CX)=C\cdot{E}(X)\)
\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
Если \(X,Y\) – независимые случайные величины, то
\(E(X\cdot{Y})=E(X)\cdot{E}(Y)\)
Дисперсия случайной величины
\(D(X)=E((X-E(X))^2)\)
\(D(X)\ge0\)
\(D(X)=E(X^2)-(E(X))^2\)
\(D(C)=0\)
\(D(CX)=C^2D(X)\)
Если \(X,Y\) – независимые случайные величины, то
\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\) и \(D(X-Y)=D(X)+D(Y)\)
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
\(\sigma(X)=\sqrt{D(X)}\)