Вступительное испытание
по математике в МГУ 2017 года

Июль 2017 г

1. Какое число больше: $\sqrt{\frac{6}{7}+7+\frac{7}{6}}$ или $3$?
2. Известно, что $a+b+c=5$ и $ab+bc+ac=4$. Найдите $a^2+b^2+c^2$.
3. Решите уравнение $\sin7x+\sin6x=\sin x$.
4. Решите неравенство $x^2\log_7^2x+3\log_6^2x\le x\log_7x\cdot\log_6x^4$
5. Через вершины А и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямых АС и ВС. На этой окружности выбрана точка D (внутри треугольника), лежащая на расстоянии $\sqrt{2}$ от прямой АВ и на расстоянии $\sqrt{5}$ от прямой BC. Найдите угол DBC, если известно, что углы ABD и BCD равны.
6. www.itmathrepetitor.ru Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из А. Однако, промчавшись 8 км, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Василий уже проехал, он согласился. По пути в С Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до В осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в С, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами В и С, если оба катера пришли в В одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.
7. Из вершины D на плоскость основания ABC пирамиды ABCD опущена высота DH. Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников HBC, HAC и HAB равны соответственно 2/9, 1/3 и 4/9, и что все три плоских угла при вершине D прямые.
8. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} \displaystyle\frac{x}{\sin(x^2-y^2)}+y\cdot ctg(x^2-y^2)=\sqrt{\frac{2\pi}{3}},\\ \displaystyle\frac{y}{\sin(x^2-y^2)}+x\cdot ctg(x^2-y^2)=-\sqrt{\frac{\pi}{2}}\end{array}\right.$

Ответы

1. Первое больше
2. 17
3. $\pi k/3; (2k+1)\pi/7, k\in Z$
4. $x=1,\log_67\le x\le3\log_67$
5. $\pi/4$
6. 4 км
7. $\displaystyle\frac{2\sqrt[4]{2}}{9\sqrt[4]{3}}$
8. $x=7\sqrt{\pi/6},y=-2\sqrt{2\pi}$

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013