В.И. Арнольд “Задачи для детей от 5 до 15 лет”

38. Вычислите сумму \(\displaystyle\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+…+\frac{1}{99\cdot100}\) (с ошибкой ответа не более 1% от ответа)

39.  Если два многоугольника имеют одинаковые площади, то их можно разрезать на конечное число многоугольных частей, перекладывая которые по-разному можно получить и один, и другой многоугольник (доказать!). [Для пространственных тел это неверно: куб и тетраэдр одинакового объема так разрезать нельзя!] 

40.  В вершинах клетчатой бумаги выбраны 4 вершины параллелограмма, и оказалось, что ни на сторонах, ни внутри его нет других точек пересечения линий клетчатой бумаги. Доказать, что площадь такого параллелограмма равна площади одной клеточки клетчатой бумаги. 

41.  В условиях задачи 40 внутри оказалось a точек пересечения, а на сторонах b. Найти площадь.

42.  Верно ли аналогичное задаче 40 утверждение для параллелепипедов в пространстве?

43.  Числа кроликов («Фибоначчи») образуют последовательность (a₁ = 1), 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …, в которой a_n+2 = a_n+1 + a_n для всякого n = 1, 2, … Найти наибольший общий делитель чисел a₁₀₀ и a₉₉.

44.  Найти число (Каталана) разбиений выпуклого n-угольника на треугольники его непересекающимися диагоналями. Например, c(4) = 2, c(5) = 5, c(6) = 14. А как найти c(10)? 

45.  В турнире «на кубок» участвуют n команд, и проигравший выбывает, а после n − 1 игры остается победитель. Расписание турнира можно записать в виде символа вроде ((a, (b, c)), d) [b играет с c, победитель с a, победитель с d].
Сколько разных расписаний, если команд 10? Если команд 2 – только (a, b), число = 1.
Если команд 3 – только ((a, b), c), или ((a, c), b), или ((b, c), a), число = 3.
Если команд 4:
(((a, b), c), d) (((a, c), b), d) (((a, d), b), c) (((b, c), a), d) (((b, d), a), c) (((c, d), a), b) (((a, b), d), c) (((a, c), d), b) (((a, d), c), b) (((b, c), d), a) (((b, d), c), a) (((c, d), b), a) ((a, b), (c, d)) ((a, c), (b, d)) ((a, d), (b, c)).

46.  Соединить n точек 1, 2, …, n отрезками (их n − 1) так, чтобы получилось дерево. Сколько разных деревьев можно получить (при n = 5 уже интересно!)? 47. Перестановка \((x_1,x_2,…,x_n)\) чисел \(\{1,2,…,n\}\) называется змеей (длины \(n\)), если \(x_1<x_2>x_3<x_4…\). Найти число змей длины 10. 

48. Обозначим через \(s_n\) число змей длины \(n\): \(s_1=1\), \(s_2=1\), \(s_3=2\), \(s_4=5\), \(s_5=16\), \(s_6=61\). Докажите, что ряд Тейлора тангенса есть \(tgx=1\cdot\displaystyle\frac{x^1}{1!}+2\cdot\frac{x^3}{3!}+16\cdot\frac{x^5}{5!}+…=\sum_{k=1}^{\infty}s_{2k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}\).

49. Вычислите сумму ряда \(1+1\cdot\displaystyle\frac{x^2}{2!}+5\cdot\frac{x^4}{4!}+61\cdot\frac{x^6}{6!}+…=\sum_{k=0}^{\infty}s_{2k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}\).

50. Доказать при \(s>1\) тождество \(\prod_{p=2}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\) (произведение по всем простым числам \(p\), сумма по всем натуральным числам \(n\)).

51. Вычислите сумму ряда \(1+\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+…=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) (доказать, что она равна \(\pi^2/6\), то есть примерно 3/2.

52. Найти вероятность несократимости дроби \(frac{p}{q}\) (она определяется так: в круге \(p^2+q^2\le R^2\) считается число \(N\) векторов с целыми \(p\) и \(q\) без общего делителя, большего 1, и затем вероятность несократимости – это предел отношения \(\frac{N(R)}{M(R)}\),  где \(M(R)\) – число всех целых точек в круге (\(M\)~\(\pi R^2)\). 

53. Для последовательности чисел Фибоначчи \(a_n\) задачи 43 найти предел отношения \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\) при стремлении \(n\) к бесконечности: \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=2,\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{8}{5},\frac{13}{8},\frac{34}{21}\).

54. Вычислить бесконечную цепную дробь  (найти предел дробей   при \(n\to\infty\)).

55. Найти многочлены \(y=\cos(3arccosx)\), \(y=\cos(4arccosx)\), \(y=\cos(n\cdot arccosx)\), где \(|x|\le1\).

56. Вычислить сумму k-х степеней всех n корней степени n из 1 (комплексных).

57.  Нарисовать на плоскости (x, y) кривые, заданные параметрически \(\{x=\cos2t, y=\sin3t\}\), \(\{x=t^3-3t, y=t^4-2t^2\}\).

58. Вычислить (с ошибкой не более 10% ответа) \(\int_{0}^{2\pi}\sin^{100}xdx\).

59. Вычислить (с ошибкой не больше 10% ответа) \(\int_{1}^{10}x^xdx\).

60.  Найти площадь треугольника с углами (α, β, γ) на сфере радиуса 1, стороны которого – окружности больших кругов (сечения сферы плоскостями, проходящими через ее центр). 

61. Окружность радиуса r катится внутри круга по окружности радиуса 1 (без скольжения). Нарисовать всю траекторию одной из точек катящейся окружности (эта траектория называется гипоциклоидой) при r = 1/3, при r = 1/4, при r = 1/n, при r = 1/2. 

62.  В классе из n учеников оценить вероятность наличия двух учеников с одинаковыми днями рождения. Велика она или мала?

63.  Закон Снелла (Снеллиуса) говорит, что угол α луча света с нормалью к слоям слоистой среды удовлетворяет уравнению n(y) sin α = const, где n(y) – «показатель преломления» слоя на высоте (величина n обратна величине скорости света в среде, считая скорость в пустоте за 1; в воде n = 4/3). 
Нарисовать ход лучей в среде «воздух над пустыней», где показатель n(y) имеет максимум на некоторой высоте:

(решение этой задачи объясняет явление миража в пустыне тем, кто понимает, как ход лучей, идущих от предметов, связан с изображениями).

64.  Вписать в остроугольный треугольник ABC треугольник KLM минимального периметра (с вершинами K на AB, L на BC, M на CA).  У к а з а н и е: Для неостроугольных треугольников ответ получается непохожий на красивый ответ для остроугольных. 

65.  Вычислить среднее значение функции 1/r (где r² = x² + y² + z², r – расстояние от начала координат) по сфере радиуса R с центром в точке (X, Y, Z).
У к а з а н и е: Задача связана с законом всемирного тяготения Ньютона и с законом Кулона теории электричества.
В двумерном варианте задачи функцию нужно заменить на ln r, а сферу – на окружность.

смотрите раздел Математика