Пробный вариант
по математике в МГУ 2016 года

Вариант 161

1. Решите уравнение \(\left|\sin x \cdot\cos x +\displaystyle\frac{1}{2}\right|=\displaystyle\frac{1}{2}\)
2. Вычислите сумму квадратов всех корней уравнений \(x^2+10x+1=0\), \(x^2+10x+2=0\), \(x^2+10x+3=0\), …, \(x^2+10x+100=0\).
3. При каком числе \(n\in N\) справедливо равенство \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=n\)?
4. Решите неравенство \(\log_{x^{x^2-x-2}}3>\log_{x^{x^2-5x+6}}2\)
5. У вписанного в окружность шестиугольника ABCDEF диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке, сторона АВ параллельна стороне DE, сторона BC параллельна стороне EF. Найдите длину стороны CD, если АВ = 6, BC = 2 и угол ABC равен 120^о.
6. Впрямую призму ABCA₁B₁C₁, основание которой – прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = 12, АС = 16, вписана сфера, касающаяся грани BB₁C₁C в точке Н. Прямая A₁H пересекает сферу в точке Р. Найдите A₁P.
7. При каких значениях параметра \(b\) уравнение \(2^{(x-3)^2+(2\log_2y-5)^2}+2^{(x-5)^2+(2\log_2y-3)^2}=b\) имеет ровно одно решение \((x_0,y_0)\)?
8. Из всех решений уравнения \(\sqrt[3]{x^2+4y+1}+\sqrt[3]{y^2+2x+4}=\sqrt[3]{4x^2+8x+4y^2+16y+20}\) найдите все такие решения \((x*,y*)\), чтобы расстояние от точки с координатами \((1;0)\) до точки с координатами \((x*,y*)\) было наименьшим.

смотрите еще МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013