Репетиционный экзамен МГУ 4 апреля 2015 г

Условия задач

1. Решите неравенство \(x^3+\displaystyle\frac{1}{3}x\ge-\frac{26}{3}\)
2. Решите неравенство \(\log_{1-|x-2|}(x-\displaystyle\frac{3}{2})^2\le 2\)
3. Решите уравнение \(\displaystyle\frac{\cos 6x}{\sin 4x}=1\)
4. В треугольнике \(ABC\) угол \(ABC\) равен \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\), точка \(D\) лежит на стороне \(AC\), при этом отношение \(\frac{AD}{DC}=\displaystyle\frac{4}{3+3\sqrt{3}}\),  а отношение величин углов \(ABD\) и \(DBC\) равно \(1:2\).  Найдите величину тангенса угла \(BAC\).
5. Двое друзей начинают плавать в бассейне, одновременно стартуя с его противоположных сторон. Друзья плавают без остановок с постоянными скоростями не переходя на другие дорожки в течение полутора часов. Первый плавает со скоростью \(\displaystyle\frac{5}{12}\) м/c, второй – \(\displaystyle\frac{5}{11}\) м/c, длина бассейна равна 50 м. Через сколько минут после старта второй пловец последний раз догонит первого точно у одной из сторон бассейна?
6. Какие значения \(x\) являются решениями неравенства \(\sqrt{a-|x-3a|}\le a-|x-3a|\) при ровно трех значениях параметра \(a\)?
7. В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) стороны \(AB=1\), \(BC=3\), \(AA_1=2\). Найдите расстояние между диагоналями \(AB_1\) и \(A_1D\) граней \(AA_1B_1B\) и \(AA_1D_1D\) соответственно.

еще Математика. Варианты вступительных экзаменов в МГУ

Ответы

1. \([-2;+\infty)\)
2. \((1; 5/4]\cup [9/4; 3)\)
3. \((-1)^n\pi/20+\pi n/2, n\in Z\), \((-1)^{n+1}3\pi/20+\pi n/2, n\in Z\)
4. 3
5. 66
6. 3
7. 6/7