Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями

перейти к содержанию

Группа А. Задачи 151 – 190 (с ответами и решениями)

151. Вычислить площадь трапеции по разности оснований, равной 14 см, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15 см, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.  Ответ: \(168\) Решение

152. В трапеции, площадь которой равна 594 м², высота 22 м, а разность параллельных сторон равна 6 м, найти длину каждой из параллельных сторон. Ответ: \(30; 24\) Решение

153. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины одной из непараллельных сторон и длины перпендикуляра, проведенного через середину другой боковой стороны к первой.
154. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Найти отношение площадей треугольников, прилегающих к боковым сторонам трапеции. Ответ: \(1\) Решение
155. Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона равны. Найти длину средней линии, если высота трапеции равна 2 см, а боковая сторона 4 см. Ответ: \(3\sqrt{3}\) Решение
156. Вычислить площадь прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен 60°, меньшее основание равно \(a\), а большая боковая сторона равна \(b\). Ответ: \((4a+b)b\sqrt{3}/8\) Решение
157. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длины сторон трапеции, если ее площадь равна 12 см², а длина высоты равна 2 см. Ответ: \(4; 8; 2\sqrt{2}\) Решение
158. Определить боковые стороны равнобедренной трапеции, если ее основания и площадь равны соответственно 8 см, 14 см и 44 см². Ответ: \(5\) Решение
159. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти площадь трапеции. Ответ: \(96\) Решение
160. В равнобедренной трапеции одно основание равно 40 см, а другое 24 см. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти ее площадь. Ответ: \(1024\) Решение
161. В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции. Ответ: \(25\) Решение
162. Большее основание’трапеции в 2 раза больше ее меньшего основания. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти отношение высоты каждой из двух полученных трапеций к высоте трапеции. Ответ: \(1:3, 2:3\) Решение
163. Основания равнобедренной трапеции \(a\) и \(b\), боковая сторона ее равна \(c\), а диагональ равна \(d\). Доказать, что \(d^2=a\cdot b+c^2\).
164. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции. Ответ: \(8\sqrt{5}; 4\sqrt{5}\) Решение
165. В равнобедренной трапеции даны основания \(a\)=21 см, \(b\) = 9 см и высота \(h\) = 9 см. Найти радиус описанного круга.  Ответ: \(10,625\) Решение
166. В окружность радиуса \(R\) вписана трапеция, у которой нижнее основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь трапеции. Ответ: \(3R^2\sqrt{3/4}\) Решение
167. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как 5:12, а длина ее высоты равна 17 см. Вычислить радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что ее средняя линия равна высоте. Ответ: \(13\) Решение
168. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна \(h\), а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60°. Ответ: \(h^2\sqrt{3}\) Решение
169. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции. Ответ: \(9; 25\) Решение
170. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна \(S\), а высота трапеции в 2 раза меньше ее боковой стороны. Определить радиус вписанного круга. Ответ: \(\sqrt{2S}/4\) Решение
171. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна \(32\sqrt{3}\) см². Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен \(\pi/3\). Ответ: \(8\) Решение
172. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8 см². Определить стороны трапеции, если угол при основании содержит 30°. Ответ: \(4; 4\pm 2\sqrt{3}\) Решение
173. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна \(S\). Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен \(\pi/6\). Ответ: \(\sqrt{2S}\) Решение
174. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна \(S\). Определить радиус круга, если угол при основании трапеции равен 30°. Ответ: \(\sqrt{2S}/4\) Решение
175. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса \(R\). Верхнее основание трапеции в 2 раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции. Ответ: \(5R^2\) Решение
176. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно \(a\), а угол при меньшем основании равен 120°. Ответ: \(\pi a^2/12\) Решение
177. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки длиной n и m. Определить площадь трапеции. Ответ: \(2\sqrt{mn}(m+n)\) Решение
178. В равнобедренную трапецию вписан круг. Доказать, что отношение площади круга к площади трапеции равно отношению длины окружности к периметру трапеции.
179. Равносторонний шестиугольник ABCDEF состоит из двух трапеций, имеющих общее основание CF. Известно, что АС = 13 см, АЕ = 10 см. Найти площадь шестиугольника. Ответ: \(120\) Решение
180. Найти сторону правильного шестиугольника, равновеликого равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции. Ответ: \(4\sqrt{5};8\sqrt{5}\) Решение
181. Вычислить отношение площадей квадрата, правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность. Ответ: \(8:3\sqrt{3}:6\sqrt{3}\) Решение
182. Найти отношение площадей равностороннего треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, длины сторон которых равны. Ответ: \(\sqrt{3}:4:6\sqrt{3}\) Решение
183. В правильный треугольник со стороной, равной \(a\), вписана окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Найти площадь шестиугольника. Ответ: \(a^2\sqrt{3}/8\) Решение
184. Около квадрата, сторона которого равна \(a\), описана окружность, а около окружности — правильный шестиугольник. Определить площадь шестиугольника. Ответ: \(a^2\sqrt{3}\) Решение
185. Из точки М, находящейся на расстоянии \(a\) от окружности, приведена к этой окружности касательная длиной \(2a\). Найти площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность. Ответ: \(27a^2\sqrt{3}/8\) Решение
186. В правильный треугольник вписана окружность, а в нее — правильный шестиугольник. Найти отношение площадей треугольника и шестиугольника. Ответ: \(2:1\) Решение
187. На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты. Их вершины, лежащие вне треугольника, последовательно соединены. Определить площадь полученного шестиугольника, если сторона данного треугольника равна \(a\). Ответ: \(a^2(3+\sqrt{3})\) Решение
188. В правильный шестиугольник, сторона которого равна \(a\), вписана окружность, и около него же описана окружность. Определить площадь кругового кольца, заключенного между этими окружностями. Ответ: \(\pi a^2/4\) Решение
189. Данный квадрат со стороной \(a\) срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого восьмиугольника. Ответ: \(2a^2(\sqrt{2}-1)\) Решение
190. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного шестиугольника, до всех прямых, содержащих его стороны, есть величина постоянная.