Справочник. Периодические функции

Справочник по математике

Периодические функции

к содержанию справочника

  1. Функция \(y=f(x)\) называется периодической, если существует такое число \(T\ne0\), что при любом \(x\) из области определения функции числа \(x-T\) и \(x+T\) также принадлежат этой области и выполняется равенство \(f(x+T)=f(x)\)
  2. Наименьший из положительных периодов функции (если он существует) называют основным (главным) периодом.
  3. Если \(T\) – период функции, то любое из чисел \(nT\), где \(n\in Z\) и \(n\ne0\), является периодом этой функции. Например, \(2T\), \(-5T\).
  4. Примеры. Функции синус и косинус периодические с основным периодом \(2\pi\). Функции тангенс и котангенс периодические с основным периодом \(\pi\).
  5. Если \(T\) – основной период функции \(y=f(x)\), то число \(\displaystyle\frac{T}{a}\) является основным периодом функции \(y=f(ax)\), где \(a\) – любое положительное число.
  6. Число \(T=\displaystyle\frac{2\pi}{a}\) – основной период функции \(y=A\sin(ax+b)\) и \(y=A\cos(ax+b)\)
  7. Если периодические функции \(y=f_1(x)\) и \(y=f_2(x)\), \(x\in D\), имеют один и тот же период \(T\), то их сумма, разность и произведение тоже будут периодическими функциями и число \(T\) будет их периодом.
  8. Периоды функций \(T_1\) и \(T_2\) называют соизмеримыми, если существуют такие целые отличные от нуля числа \(m\) и \(n\), что \(mT_1=nT_2\).
  9. Если периодические функции \(y=f_1(x)\) и \(y=f_2(x)\), \(x\in D\), имеют соизмеримые периоды \(T_1\) и \(T_2\), то они имеют общий период.
  10. Пусть \(y=g(f(x))\) – сложная функция. Тогда, если функция \(y=f(x)\) периодическая с периодом \(T\), то и данная функция периодическая с периодом \(T\). Но: если \(T\) – основной период функции \(y=f(x)\), то для функции \(y=g(f(x))\) период \(T\) необязательно будет основным.