Свойства обратных тригонометрических функций

к содержанию справочника

Кратко

$\arcsin{x}\in\displaystyle[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$

$\arccos{x}\in[0;\pi]$

$\mathrm{arctg}{x}\in\displaystyle(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$

$\mathrm{arcctg}{x}\in(0;\pi)$

$\arcsin(-x)=-\arcsin{x}$

$\arccos(-x)=\pi-\arccos{x}$

$\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}{x}$

$\mathrm{arcctg}(-x)=\pi-\mathrm{arcctg}{x}$

$\arcsin{x}+\arccos{x}=\displaystyle\frac{\pi}{2}$

$\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}{x}=\displaystyle\frac{\pi}{2}$

Подробно

Арксинус $\arcsin{x}$

Арксинусом числа $a$ из промежутка $[-1;1]$ называется число $x$ из промежутка $\displaystyle[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$, то есть $\sin{x}=a$.

1. $D=[-1;1]$, $E=\displaystyle[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$
2. Функция $y=\arcsin{x}$ нечетная, то есть $\arcsin(-x)=-\arcsin{x}$
3. Функция обращается в ноль в единственной точке $x=0$. Она положительна на промежутке $(0;1]$ и отрицательна на промежутке $[-1;0)$
4. Функция возрастает от $\displaystyle-\frac{\pi}{2}$ до $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ на всей области определения
5. Функция принимает наименьшее значение $y=\displaystyle-\frac{\pi}{2}$ при $x=-1$ и наибольшее значение $y=\displaystyle\frac{\pi}{2}$ при $x=1$
6. Примеры: $\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi}{3}$

Арккосинус $\arccos{x}$

Арккосинусом числа $a$ из промежутка $[-1;1]$ называется число $x$ из промежутка $[0;\pi]$, косинус которого равен $a$, то есть $\cos{x}=a$.

1. $D=[-1;1]$, $E=[0;\pi]$
2. Функция $y=\arccos{x}$ ни четная, ни нечетная
3. $\arccos(-x)=\pi-\arccos{x}$
4. Функция обращается в ноль в единственной точке $x=1$. Она положительна на промежутке $[-1;1)$
5. Функция убывает от $\pi$ до $0$ на всей области определения
6. Функция принимает наименьшее значение $y=0$ при $x=1$ и наибольшее значение $y=\pi$ при $x=-1$
7. Примеры: $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6}$, $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{3\pi}{4}$, $\arccos(-1)=\pi$

Арктангенс $\mathrm{arctg}{x}$

Арктангенсом числа $a$ называется число $x$ из промежутка $\displaystyle(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$, то есть $\mathrm{tg}{x}=a$.

1. $D=(-\infty;+\infty)$, $E=\displaystyle(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$
2. Функция $y=\mathrm{arctg}{x}$ нечетная, то есть $\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}{x}$
3. Функция обращается в ноль в единственной точке $x=0$. Она положительна на промежутке $(0;+\infty)$ и отрицательна на промежутке $(-\infty;0)$
4. Функция возрастает на всей области определения
5. Функция наибольшего и наименьшего значений не имеет
6. Примеры: $\mathrm{arctg}{0}=0$, $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$, $\mathrm{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{\pi}{6}$

Арккотангенс $\mathrm{arcctg}{x}$

Арккотангенсом числа $a$ называется число $x$ из промежутка $(0;\pi)$, котангенс которого равен $a$, то есть $\mathrm{ctg}{x}=a$.

1. $D=(-\infty;+\infty)$, $E=(0;\pi)$
2. Функция $y=\mathrm{arcctg}{x}$ ни четная, ни нечетная
3. $\mathrm{arcctg}(-x)=\pi-\mathrm{arcctg}{x}$
4. Функция в ноль не обращается. Она положительна на всей области определения
5. Функция убывает на всей области определения
6. Функция наибольшего и наименьшего значений не имеет
7. Примеры: $\mathrm{arcctg}{(-1)}=\frac{3\pi}{4}$, $\mathrm{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{\pi}{3}$