Уравнения и неравенства с модулем

содержание справочника

1. При \(a<0\) уравнение \(|f(x)|=a\) не имеет корней
2. При \(a=0\) уравнение \(|f(x)|=a\) равносильно уравнению \(f(x)=0\).
3. При \(a>0\) уравнение \(|f(x)|=a\) равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l l} f(x)=a,\\ f(x)=-a\end{array}\right.\)
4. \(|f(x)|=g(x)\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l l} \left[\begin{array}{l l} f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x)\end{array}\right. \\ g(x)\ge0\end{array}\right.\)
5. \(|f(x)|=|g(x)|\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{l l} f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x)\end{array}\right. \)
6. \(|f(x)|=-|g(x)|\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l l} f(x)=0,\\ g(x)=0\end{array}\right. \)
7. \(|f(x)|\le|g(x)|\) \(\Leftrightarrow\) \((f(x)-g(x))(f(x)+g(x))\le0\)
8. \(|f(x)|\le g(x)\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l l} f(x)\le g(x),\\ f(x)\ge -g(x)\end{array}\right. \)
9. \(|f(x)|\ge g(x)\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{l l} f(x)\ge g(x),\\ f(x)\le -g(x)\end{array}\right. \)

смотрите еще Справочник. Модуль и его свойства