Вступительный экзамен в ШАД 21 мая 2016

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
21 мая 2016

Условия задач

1. Решите уравнение \(\lim_{n\to\infty}\cos(nx)=1\).
2. Докажите, что целочисленная матрица не может иметь собственного значения, равного \(\displaystyle\frac{1}{4}(-3+i\sqrt{5})\).
3. В мишень, которая представляет собой прямоугольник размера 3×2, стреляют из пистолета. Известно, что отклонение пули от точки, на которую нацелен пистолет, произвольно, но не превышает 0,1 по любому направлению, параллельному сторонам прямоугольника. Стрелок целится в произвольную точку мишени. С какой вероятностью он попадет в мишень?
4. Пусть \(f:R^2\to R\) – ограниченная гладкая функция, причем ее среднее значение на каждой окружности радиуса 1 равно значению в центре этой окружности. Докажите, что \(f\) постоянна.
5. Дана матрица nxn, каждая строка и каждый столбец которой упорядочены по возрастанию (то есть \(a_{ki}<a_{kj}\) и \(a_{it}<a_{jt}\) при \(i<j\)). Предложите алгоритм, находящий два элемента этой матрицы, сумма которых наиболее близка к заданному числу \(q\). Ограничение по дополнительной памяти – O(n). Изменять исходную матрицу нельзя. Внимание: оценка будет зависеть от эффективности вашего алгоритма.
6. Робот движется по клеткам бесконечной шахматной доски. Один его шаг – это перемещение на случайную из восьми соседних клеток. Найдите математическое ожидание модуля разности между количеством черных и количеством белых клеток, на которых робот побывал за \(n\) шагов (каждая клетка считается столько раз, сколько на ней побывал робот). Ответ представьте в виде компактного выражения.
7. Пусть \(J\in Mat_{2n x 2n}(R)\) – кососимметрическая матрица, \(\beta\) – положительное число, а \(u\in R^{2n}\) – ненулевой вектор. Найдите \(det(E+\beta uu^{T}J)\).
8. Докажите, что из последовательности \(mn+1\) различных действительных чисел всегда можно выделить возрастающую подпоследовательность из \(n+1\) числа и убывающую подпоследовательность из \(m+1\) числа.

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов