Вступительный экзамен в ШАД 2015

Июнь 2015

Условия задач

1. Постройте график функции \(f(x)=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{1+x^n+(x^2/2)^n}\), \(x\ge0\)
2. Найдите собственные значения матрицы \(v\cdot v^T\), где \(v\) – некоторый вектор-столбец.
3. Найдите математическое ожидание числа неподвижных точек подстановки на \(n\) элементах.
4. Пусть \(X\) и \(Y\) – квадратные матрицы одинакового размера, причем \(XY=\lambda X+\mu Y\) для некоторых \(\lambda,\mu\ne0\). Докажите, что матрицы \(X\) и \(Y\) коммутируют.
5. Электрическая цепь представляет собой связный неориентированный граф без кратных ребер, в котором ребра (числом \(N\)) – это провода, а вершины – либо лампочки, либо единственный источник тока. На каждом ребре размещено реле. Лампочка горит, если существует путь, соединяющий ее с источником тока, вдоль которого все реле находятся в положении “включено”. Известно, что ровно одно из реле бракованное и никогда не пропускает ток. Вы можете включать и отключать реле (и видите, горят ли лампочки). Изначально все выключатели находятся в положении “включено”. Опишите способ нахождения неисправного реле за \(O(N)\) операций включения-выключения.
6. Пусть \(f\) – дифференцируемая функция, причем \(f(0)=0\) и \(0<f'(x)\le1\). Докажите, что для всех \(x\ge0\) имеет неравенство \(\int_{0}^{x}f^3(t)dt\le(\int_{0}^{x}f(t)dt)^2\).
7. Для произвольных положительных \(n\) и \(m\) вычислите сумму \(\sum_{i=0}^{n}\displaystyle\frac{1}{2^{m+i+1}}C_{m+i}^i+\sum_{i=0}^{m}\displaystyle\frac{1}{2^{n+i+1}}C_{n+i}^i\).
8. На сфере случайным образом выбираются четыре точки A, B, C и D. С какой вероятностью кратчайшие дуги AB и CD пересекаются?

все задачи в ШАД

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов