Вступительный экзамен в ШАД 2015

Июнь 2015

Условия задач

1. Постройте график функции $f(x)=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{1+x^n+(x^2/2)^n}$, $x\ge0$
2. Найдите собственные значения матрицы $v\cdot v^T$, где $v$ - некоторый вектор-столбец.
3. Найдите математическое ожидание числа неподвижных точек подстановки на $n$ элементах.
4. Пусть $X$ и $Y$ - квадратные матрицы одинакового размера, причем $XY=\lambda X+\mu Y$ для некоторых $\lambda,\mu\ne0$. Докажите, что матрицы $X$ и $Y$ коммутируют.
5. Электрическая цепь представляет собой связный неориентированный граф без кратных ребер, в котором ребра (числом $N$) - это провода, а вершины - либо лампочки, либо единственный источник тока. На каждом ребре размещено реле. Лампочка горит, если существует путь, соединяющий ее с источником тока, вдоль которого все реле находятся в положении "включено". Известно, что ровно одно из реле бракованное и никогда не пропускает ток. Вы можете включать и отключать реле (и видите, горят ли лампочки). Изначально все выключатели находятся в положении "включено". Опишите способ нахождения неисправного реле за $O(N)$ операций включения-выключения.
6. Пусть $f$ - дифференцируемая функция, причем $f(0)=0$ и $0<f'(x)\le1$. Докажите, что для всех $x\ge0$ имеет неравенство $\int_{0}^{x}f^3(t)dt\le(\int_{0}^{x}f(t)dt)^2$.
7. Для произвольных положительных $n$ и $m$ вычислите сумму $\sum_{i=0}^{n}\displaystyle\frac{1}{2^{m+i+1}}C_{m+i}^i+\sum_{i=0}^{m}\displaystyle\frac{1}{2^{n+i+1}}C_{n+i}^i$.
8. На сфере случайным образом выбираются четыре точки A, B, C и D. С какой вероятностью кратчайшие дуги AB и CD пересекаются?

все задачи в ШАД

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов