Вступительный экзамен в ШАД 2014

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
8 июня 2014

Экзамен длится 4 часа

Условия задач

1. Пусть $A$ - невырожденная вещественная матрица $nxn$, все элементы которой положительны. Докажите, что число нулей среди элементов матрицы $A^{-1}$ не превосходит $n^2-2n$.
2. Трое игроков по очереди вынимают от 1 до $m$ ($m>1$) камней из кучи (количество камней в куче им изначально известно). Игрок, вынувший последний камень, проигрывает. Докажите, что если изначально куча была достаточно велика, то любые два игрока, договорившись, сумеют привести третьего к проигрышу.
3. Найдите предел последовательности ($c_n$), определяемой рекуррентным соотношением $c_{n+1}=(1-\frac{1}{n})\cdot c_n+\beta_n$, где ($\beta_n$) - любая последовательность со свойством $n^2\beta_n \rightarrow 0$ при $n\rightarrow\infty$.
4. Отрезок $[0;1]$ разбит двумя случайными точками на три части. Найдите математическое ожидание длины меньшей из частей.
5. Предложите алгоритм, находящий значения $P(n+1),P(n+2),...,P(2n)$ неизвестного многочлена $n$-й степени $P(x)$, если даны его значения $P(0),P(1),...,P(n)$. Ограничение по времени - $O(n^2)$.
6. Вычислите интеграл $\int e^{e^x+2014x}dx$.
7. Когда студент пришел в аудиторию, на доске было написано число 0. В ожидании лекции студент подкидывает монетку и, если выпадает орел, он прибавляет к числу 1, а если решка - то вычитает 1. Орел и решка выпадают с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что на момент после $(2n+1)$-го подбрасывания число на доске сменило знак (с положительного на отрицательный или наоборот) (а) ровно $n$ раз; (б) ни разу.
8. При каких натуральных $N$ существует квадратная матрица порядка $N$ с элементами 0, 1 такая, что ее квадрат - это матрица из одних единиц?

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов