Вступительный экзамен в ШАД 2014
Вступительный экзамен в Школу анализа данных
8 июня 2014
Экзамен длится 4 часа
Условия задач
- Пусть
- невырожденная вещественная матрица
, все элементы которой положительны. Докажите, что число нулей среди элементов матрицы
не превосходит
.
- Трое игроков по очереди вынимают от 1 до
(
) камней из кучи (количество камней в куче им изначально известно). Игрок, вынувший последний камень, проигрывает. Докажите, что если изначально куча была достаточно велика, то любые два игрока, договорившись, сумеют привести третьего к проигрышу.
- Найдите предел последовательности (
), определяемой рекуррентным соотношением
, где (
) - любая последовательность со свойством
при
.
- Отрезок
разбит двумя случайными точками на три части. Найдите математическое ожидание длины меньшей из частей.
- Предложите алгоритм, находящий значения
неизвестного многочлена
-й степени
, если даны его значения
. Ограничение по времени -
.
- Вычислите интеграл
.
- Когда студент пришел в аудиторию, на доске было написано число 0. В ожидании лекции студент подкидывает монетку и, если выпадает орел, он прибавляет к числу 1, а если решка - то вычитает 1. Орел и решка выпадают с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что на момент после
-го подбрасывания число на доске сменило знак (с положительного на отрицательный или наоборот) (а) ровно
раз; (б) ни разу.
- При каких натуральных
существует квадратная матрица порядка
с элементами 0, 1 такая, что ее квадрат - это матрица из одних единиц?
смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов