Вступительный экзамен в ШАД 2019

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
25 мая 2019

Условия задач

1. Лёша и Марина договорились встретиться между $8:00$ и $9:00$ и вместе пойти на экзамен в ШАД. Каждый из них приходит на место встречи в случайный момент времени, ждёт $15$ минут и уходит (никому не хочется опоздать на экзамен). Являются ли независимыми события «Лёша и Марина не встретились» и «хотя бы один из них пришел после $8:45$»? Время считайте непрерывным.
2. Известно, что $\lim_{x\to0}\displaystyle\frac{f(x)}{\sin x}=2$. Чему равен предел $\lim_{x\to0}\displaystyle\frac{ln(1+3x)}{f(x)}$?
3. Верно ли, что для любых линейно-независимых $v,w\in R^n$ найдётся матрица $A$ размера $n\times n$, для которой вектор $v$ является собственным с собственным значением $5$, а вектор $w$ не лежит в образе? Если да, то как найти хотя бы одну такую матрицу? Обязательно объясните ответ.
4. Дан массив вещественных чисел $\text{A[1:n]}$. Предложите алгоритм, находящий для каждого элемента $\text{A}$ индекс ближайшего справа элемента, большего его хотя бы в два раза. Если такого элемента нет, то должно возвращаться значение $\text{None}$. Ограничение по времени $O\left(n\log n\right)$, по дополнительной памяти — $O\left(n\right)$.
5. В корзине лежит $m$ чёрных шаров и $n$ красных. Вася достаёт из корзины случайный шар и, если он чёрный, то заменяет его на красный, а если он красный, то кладёт его обратно. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа красных шаров в корзине после $k$ итераций этой процедуры. Оба ответа должны быть компактными выражениями (то есть не содержать знаков суммирования, многоточий и пр.).
6. Матрицы $A$ и $B$ таковы, что $A^2=A$, $B^2=B$ и матрица $E-(A+B)$ обратима. Докажите, что $\text{rk}A=\text{rk}B$.
7. Пусть $M$ — множество непрерывных убывающих функций на отрезке $[0;1]$, для которых $f\left(1\right)=0$. Найдите $inf_{f\in M}sup_{x\in[0;1]}\displaystyle\frac{xf(x)}{\int_{0}^1f(t)dt}$.
8. Дан граф с $40$ вершинами. Известно, что среди любых $5$ вершин найдется одна, соединенная с четырьмя остальными. Каково минимально возможное число ребер в этом графе?

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов