Задачи по школьной математике. Параллелограмм

  1. Сторона параллелограмма втрое больше другой его стороны. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 24.

  2. Сторона ромба равна 5, а меньшая диагональ равна 6. Найдите большую диагональ.
  3. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 и 8.
  4. Сторона ромба равна 17, а одна из диагоналей равна 30. Найдите длину второй диагонали.
  5. Найдите тупой угол (в градусах) ромба, если высота, проведенная из его вершины, делит противоположную сторону пополам.
  6. Диагональ ромба образует с его стороной угол 25о. Найдите больший угол ромба.
  7. Диагональ ромба равна его стороне. Найдите больший угол ромба.
  8. Периметр ромба равен 24. Высота равна 3. Найдите тупой угол ромба.
  9. В ромбе диагонали равны 10 и 15. Найдите площадь ромба.
  10. Найдите сторону ромба, если его острый угол 30о, а площадь равна 18.
  11. Найдите сторону ромба, если его диагонали относятся как 3:4, а площадь равна 384.
  12. Найдите большую сторону прямоугольника, площадь которого равна 400, а стороны относятся как 4 : 1.
  13. Периметр прямоугольника равен 60. Одна сторона больше другой на 10. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
  14. В параллелограмме сторона АВ равна 6, диагонали равны 9 и 5, О – точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника АОВ?
  15. Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна 94о. Найдите больший угол параллелограмма.
  16. Периметр параллелограмма равен 60. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны относятся как 2 : 3, а острый угол равен 30о.
  17. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если угол BAD равен 150о, АВ равно 3 и AD равно 8.
  18. Параллелограмм и прямоугольник имеют соответственно одинаковые стороны. Площадь параллелограмма в два раза меньше площади прямоугольника. Найдите тупой угол параллелограмма.
  19. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 144, а высоты равны 8 и 12.
  20. Диагонали параллелограмма равны 6 и 8, а угол между ними равен 30о. Найдите площадь параллелограмма.
  21. Площадь параллелограмма равна 120, а его высоты равны 8 и 12. Найдите периметр параллелограмма.
  22. Стороны параллелограмма равны \(\sqrt{3}\) и \(2\sqrt{3}\). Найдите сумму квадратов длин диагоналей параллелограмма.
  23. Стороны параллелограмма равны соответственно 6 и 16, а его тупой угол равен 120о. Найдите длину меньшей диагонали параллелограмма.
  24. Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его диагональ увеличить в 2 раза?
  25. Во сколько раз увеличится площадь ромба, если каждую диагональ увеличить в 2 раза?
  26. Во сколько раз изменится площадь прямоугольника, если каждую сторону увеличить в 3 раза?
  27. Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами, равными 4 и 9.
  28. Середины сторон квадрата соединены отрезками. Найдите отношение площади фигуры, образованной этими отрезками к площади квадрата.
  29. Стороны квадрата ABCD разделены точками E, F, L и N в отношении 1:2 каждая. Найдите отношение площадей квадрата и четырехугольника EFLN.
  30. Периметр прямоугольника равен 24. Внутри прямоугольника выбрана точка. Найдите сумму расстояний от этой точки до всех сторон прямоугольника.
  31. В параллелограмме ABCD высота BE делит сторону AD в точке E пополам. Найдите сторону AB, если периметр параллелограмма равен 7, а периметр треугольника ABD равен 5.
  32. Диагонали параллелограмма равны 17 и 19. Одна сторона равна 10. Найдите другую сторону.
  33. В параллелограмме ABCD проведена высота BK. Найдите углы и стороны параллелограмма, если AK = 5, KD = 8 и угол ABK равен 30о.
  34. В параллелограмме боковая сторона равна 8 и острый угол при основании равен 30о. Найдите проекции высоты, опущенной на основание, на основание и на боковую сторону.
  35. Точки M и N – середины противолежащих сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырехуголь­ник AMCN – параллелограмм.
  36. Биссектриса угла параллелограмма делит сторону па­раллелограмма на отрезки, равные a и b. Найдите стороны па­раллелограмма.

  37. Высота параллелограмма, проведенная из вершины ту­пого угла, равна 2 и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30◦. Найдите диагональ, проведенную из вершины тупого угла, и углы, которые она об­разует со сторонами.

  38. Диагонали  параллелограмма  ABCD  пересекаются  в точке O. Периметр параллелограмма равен 12, а разность пери­метров треугольников BOC и COD равна 2. Найдите стороны параллелограмма.

  39. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD в точках M и N, причем MN = 12. Найдите стороны паралле­лограмма.

  40. Угол при вершине A ромба ABCD равен 20◦. Точки M и N – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на стороны AD и CD. Найдите углы треугольника BMN.

  41. Докажите, что точки попарного пересечения биссек­трис всех четырех углов параллелограмма являются вершинами прямоугольника.

  42. Докажите, что отрезок, соединяющий середины про­тивоположных сторон параллелограмма, проходит через его центр.

  43. Найдите расстояние от центра ромба до его стороны, если острый угол ромба равен 30◦, а сторона равна 4.

  44. На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD взя­ты точки K и M так, что AKCM является ромбом. Диаго­наль AC составляет со стороной AB угол 30◦. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника ABCD рав­на 3.

  45. Прямая имеет с параллелограммом ABCD единствен­ную общую точку B. Вершины A и C удалены от этой прямой на расстояния a и b соответственно. На какое расстояние удалена от этой прямой вершина D?
  46. Угол при вершине A ромба ABCD равен 60◦. На сторо­нах AB и BC взяты соответственно точки M и N, причем AM = BN. Докажите, что треугольник DMN равносторонний.
  47. Точка внутри параллелограмма соединена со всеми его вершинами. Докажите, что суммы площадей треугольников, прилежащих к противоположным сторонам параллелограмма, равны между собой.
  48. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD взя­ты точки M и N так, что прямые MC и NC делят параллело­грамм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD = d.
  49. Пусть E и F — середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми AE, ED, BF и FC, если известно, что площадь ABCD равна S.
  50. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника — вершины параллелограмма. Для каких четырехугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких — ромбом, для каких — квадратом?


Смотрите:

  1. Задачи по школьной математике. Прямоугольник, ромб, квадрат
  2. Задачи на повторение по разным темам. Часть 1
  3. Задачи по школьной математике. Арифметические вычисления II
  4. Задачи по школьной математике. Линейные неравенства. Часть 2