Справочник по математике

Числовые ряды

к содержанию справочника

Необходимое условие сходимости ряда

$$\lim_{n\to\infty}a_n=0$$

Признаки сходимости для положительных рядов

Признак сравнения

Если $0\le a_n\le b_n$ для любого $n\in N$, то из сходимости ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ следует сходимость ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, а из расходимости ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ следует расходимость ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$

Предельный признак сравнения

Если $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=p$, то при $0<p<+\infty$ ряды $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ или оба сходятся, или оба расходятся. При $p=0$ из сходимости ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ следует сходимость ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$. При $p=+\infty$ из расходимости ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ следует расходимость ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$

Степенной признак

Если $a_n\sim\displaystyle\frac{c}{k^{\alpha}}$ при $n\to\infty$, $c>0$, то при $\alpha>1$ ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, при $\alpha\le1$ ряд расходится

Признак Даламбера

Если $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$, то при $0\le q<1$ ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, при $q>1$ расходится

Признак Коши

Если $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q$, то при $0\le q<1$ ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, при $q>1$ расходится

Признак Раабе

Если $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=q$, то при $q>1$ ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, при $q<1$ расходится

Интегральный признак

Если функция $y=f(x)$ убывает на $[1;+\infty)$ и неотрицательна, то ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ сходится или расходится вместе с интегралом $\int\limits_{1}^{+\infty}f(x)dx$

Признаки сходимости знакопеременных рядов

Признак Лейбница

Ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$, где $a_n>0$, сходится, если $(a_n)$ монотонно стремится к нулю

Признак Абеля

Если $(a_n)$ монотонна и ограничена, а ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ сходится, то сходится ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$

Признак Дирихле

Если $(a_n)$ монотонно стремится к нулю, а частные суммы ряда $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ ограничены, то ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится