Дифференциальные уравнения
- Линейное однородное уравнение 1 порядка
\(y’+p(x)y=0\)
Общее решение
\(y=Ce^{-\displaystyle\int p(x)dx}\)
Решение задачи Коши \(y(x_0)=y_0\)
\(y=y_0e^{-\displaystyle\int\limits_{x0}^{x}p(t)dt}\)
- Линейное неоднородное уравнение 1 порядка
\(y’+p(x)y=q(x)\)
Общее решение
\(y=e^{-\displaystyle\int p(x)dx}(C+\int q(x)e^{\displaystyle\int p(x)dx}dx)\)
Решение задачи Коши \(y(x_0)=y_0\)
\(y=e^{-\displaystyle\int\limits_{x0}^{x}p(t)dt}(y_0+\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x}q(t)e^{\displaystyle\int\limits_{x_0}^{t}p(s)ds}dt)\)
- Линейное однородное уравнение 2 порядка c постоянными коэффициентами
\(y”+ay’+by=0\)
Характеристическое уравнение
\(\lambda^2+a\lambda+b=0\)
Характеристические числа
\(\lambda_1\), \(\lambda_2\) – корни характеристического уравнения
Общее решение
1. Если \(\lambda_1\ne\lambda_2\) и корни действительные, то \(y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)
2. Если \(\lambda_1\ne\lambda_2\) и корни комплексные \(\lambda_1=\alpha-i\beta\), \(\lambda_2=\alpha+i\beta\), то \(y(x)=(C_1\cos(\beta{x})+C_2\sin(\beta{x}))e^{\alpha{x}}\)
3. Если \(\lambda_1=\lambda_2\), то \(y(x)=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}\)
- Однородное уравнение
\(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\), где \(P(x,y)\), \(Q(x,y)\) – однородные функции одной степени, то есть \(P(tx,ty)=t^kP(x,y)\), \(Q(tx,ty)=t^kQ(x,y)\)
или
\(y’=f(x,y)\), где \(f(tx,ty)=f(x,y)\)
Подстановка \(y=ux\), \(dy=xdu+udx\) приводит к уравнению с разделяющимися переменными
- Уравнение с разделяющимися переменными
\(P_1(x)Q_1(y)dx+P_2(x)Q_2(y)dy=0\)
Приходим к общему интегралу
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{P_1(x)}{P_2(x)}dx+\int\displaystyle\frac{Q_2(y)}{Q_1(y)}dy=C\)
- Уравнение Бернулли
\(y’+p(x)y=q(x)y^m\), где \(m\ne0\),\(m\ne1\)
Подстановка \(u(x)=y^{1-m}\) приводит к линейному уравнению
- Уравнение без искомой функции и ее производных до порядка k-1 включительно
Замена \(y^{(k)}(x)=p(x)\)
- Уравнение без независимой переменной
Замена \(y’=p(y)\) понижает порядок уравнения на 1. При этом \(p\) рассматривается как новая неизвестная функция от \(y\). Тогда \(y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=p\), \(y”=\displaystyle\frac{dp}{dx}=p\displaystyle\frac{dp}{dy}\) и т.д.