Квадратный трехчлен и его свойства
Стандартный вид
\(ax^2+bx+c\), \(a\ne 0\)
Квадратное уравнение
\(ax^2+bx+c=0\), \(a\ne 0\)
Дискриминант \(D = b^2-4ac\).
Если \(D<0\), то корней нет.
Если \(D=0\), то \(x=\displaystyle\frac{-b}{2a}\).
Если \(D>0\), то \(x_{1,2}=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)
смотрите статью Как решать квадратные уравнения
Пример анализа графика
Теорема Виета
Если квадратное уравнение \(ax^2+bx+c=0\) имеет корни, то
\(x_1+x_2=-\displaystyle\frac{b}{a}\) и \(x_1\cdot x_2=\displaystyle\frac{c}{a}\)
Расположение корней
\(f(x)=ax^2+bx+c\), \(x_0=-\displaystyle\frac{b}{2a}\), \(x_1, x_2\) – корни трехчлена и \(x_1<x_2\), \(m_1<m_2\).
| Утверждение о расположении корней на числовой оси относительно чисел \(m_1\) и \(m_2\) | Необходимые и достаточные условия |
| Оба корня больше данного числа \(m_1\) \(m_1<x_1<x_2\) |
\(\left\{\begin{array}{l l} D>0,\\ a\cdot f(m_1)>0,\\ x_0>m_1 \end{array}\right.\) |
| Оба корня меньше данного числа \(m_2\) \(x_1<x_2<m_2\) |
\(\left\{\begin{array}{l l} D>0,\\ a\cdot f(m_2)>0,\\ x_0<m_2 \end{array}\right.\) |
| Оба корня принадлежат данному интервалу \((m_1; m_2)\) \(m_1<x_1<x_2<m_2\) |
\(\left\{\begin{array}{l l} D>0,\\ a\cdot f(m_1)>0,\\ a\cdot f(m_2)>0, \\ m_1<x_0<m_2 \end{array}\right.\) |
| Только меньший корень принадлежит данному интервалу \((m_1; m_2)\) \(m_1<x_1<m_2<x_2\) |
\(\left\{\begin{array}{l l} a\cdot f(m_1)>0,\\ a\cdot f(m_2)<0 \end{array}\right.\) |
| Только больший корень принадлежит данному интервалу \((m_1; m_2)\) \(x_1<m_1<x_2<m_2\) |
\(\left\{\begin{array}{l l} a\cdot f(m_1)<0,\\ a\cdot f(m_2)>0 \end{array}\right.\) |
| Один из корней меньше данного числа \(m_1\), а другой корень больше данного числа \(m_2\) \(x_1<m_1<m_2<x_2\) |
\(\left\{\begin{array}{l l} a\cdot f(m_1)<0,\\ a\cdot f(m_2)<0 \end{array}\right.\) |
| Один из корней меньше данного числа \(m_1\), а другой корень больше этого числа \(x_1<m_1<x_2\) |
\(a\cdot f(m_1)<0\) |