Справочник по математике

Векторы

к содержанию справочника

Правило треугольника сложения векторов

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

Правило параллелограмма сложения векторов

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\)

Координаты вектора

Если точка \(A(x_1,y_1,z_1)\) и точка \(B(x_2,y_2,z_2)\), то \(\overrightarrow{AB}(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\)

Длина вектора \(\overrightarrow{a}(x,y,z)\)

\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}(x_1,y_1,z_1)\) и \(\overrightarrow{b}(x_2,y_2,z_2)\)

Это число \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos\alpha\),
где \(\alpha\) – угол между векторами

Свойства скалярного произведения

1. \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2\)
2. \(\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)
3. \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)
4. \(\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\)
5. \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{a}|^2\)
6. \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot proj_{\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}}=|\overrightarrow{b}|\cdot proj_{\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a}}\)

Угол между векторами \(\overrightarrow{a}(x_1,y_1,z_1)\) и \(\overrightarrow{b}(x_2,y_2,z_2)\)

\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\displaystyle\frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}\)

Векторное произведение \(\overrightarrow{a}(x_1,y_1,z_1)\) и \(\overrightarrow{b}(x_2,y_2,z_2)\)

Это вектор \([\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\), который:

• имеет длину, равную \(|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\sin\alpha\), где \(\alpha\) – угол между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\)
• ортогонален каждому из векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\)
• такой, что тройка векторов \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \([\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\) правая

Свойства векторного произведения

1. \([\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}]=\overrightarrow{0}\)
2. \(\overrightarrow{a}\|\overrightarrow{b}\Leftrightarrow[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\overrightarrow{0}\)
3. Длина вектора \([\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\) равна площади параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\)
4. \([\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=-[\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}]\)
5. \([k\cdot\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=k\cdot[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\) и \([\overrightarrow{a},k\cdot\overrightarrow{b}]=k\cdot[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\), \(k\in R\)
6. \([\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=[\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}]+[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]\) и \([\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}]=[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]+[\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}]\)
7. \([\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\begin{vmatrix}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}&\overrightarrow{k} \\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2 \end{vmatrix}\) (в правой ДПСК)

Двойное векторное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\)

\([\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=[\overrightarrow{a},[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]]\)

Смешанное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\)

Это число \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\cdot\overrightarrow{c}\)

Свойства смешанного произведения

1. \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\) равно объему параллелепипеда, построенного на векторах \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\), с точностью до знака, то есть \(V=|\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}|\)
2. Объем пирамиды, построенной на векторах \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\), равен \(V=\displaystyle\frac{1}{6}|\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}|\)
3. Если \(\overrightarrow{a}(x_1,y_1,z_1)\), \(\overrightarrow{b}(x_2,y_2,z_2)\) и \(\overrightarrow{c}(x_3,y_3,z_3)\), то \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1 \\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3 \end{vmatrix}\) (в правой ДПСК)
4. \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=0\) \(\Leftrightarrow\) векторы \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\) компланарны
5. \([\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]\) (смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного произведения)
6. \([\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]\cdot\overrightarrow{c}=[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]\cdot\overrightarrow{a}=[\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}]\cdot\overrightarrow{b}\) (смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов)
7. \(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{c}\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}\) (смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух векторов-сомножителей)
8. Если два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю
9. Если три вектора линейно зависимы, то их смешанное произведение равно нулю