Решение текстовых задач на числовые зависимости
Задачи 5 – 7
Весь список текстовых задач на числовые зависимости здесь.
- Условие задачи: При каких натуральных \(n\) число \(m=\frac{3n^2+5n+2}{2n+3}\) также будет натуральным?
Решение: Выделим целую часть рациональной дроби. Проще всего это сделать, если разделить числитель дроби на знаменатель “уголком”. Получаем: \(m=\frac{3n}{2}+\frac{1}{4}+\frac{5}{4(2n+3)}\). Для того чтобы избавиться от дробей в целой части, умножим обе части равенства на 4: \(4m=6n+1+\frac{5}{2n+3}\).
Число 5 имеет делители \(\pm 1, \pm 5\). Проверим случаи: а) \(2n+3=-1\), тогда \(n=-2\) – не является натуральным числом. б) \(2n+3=1\), тогда \(n=-1\) – не натуральное. в) \(2n+3=-5\), тогда \(n=-4\) – не натуральное. г) \(2n+1=5\), тогда \(n=1\) – натуральное, \(m=2\) – натуральное.
Ответ: 1 - Условие задачи: При каких натуральных \(n\) дробь \(\frac{3n+5}{5n+2}\) сократима?
Решение: Условие сократимости дает систему из уравнений: \(5n+2=a\cdot k\) и \(3n+5=a\cdot l\), где \(a,k,l \in N, a\ne 1\).
Из первого уравнения \(n=\frac{ak-2}{5}\). Подставим \(n\) во второе уравнение и получим, что \(3\cdot \frac{ak-2}{5}-5=al\).
Приведем подобные слагаемые. Тогда \(a(5l-3k)=19\). Так как справа стоит простое число 19, а слева произведение двух целых чисел, то или \(a=1, 5l-3k=19\), или \(a=19,5l-3k=1\). Первый случай невозможен, так как это означает, что исходная дробь несократима. Значит, дробь сокращается на 19. Осталось выяснить, при каких \(n\) это выполняется.
Из второго уравнения следует, что \(k=\frac{5l-1}{3}\). Далее выделим целую часть дроби: \(k=l+\frac{2l-1}{3}\). Так как \(l,k\in N\), то \(\frac{2l-1}{3}\) должно быть целым, то есть \(2l-1 =3m, m\in N\). Следовательно, \(l=\frac{3m+1}{2}=m+\frac{m+1}{2}\). Рассуждая аналогично, имеем, что \(m+1=2p, p\in N\), значит, \(m=2p-1\). Итак, при \(m=2p-1\), \(p\in N\), дробь \(\frac{3n+5}{5n+2}\) сократима. Однако в ответе нужно указать вид числа \(n\). Так как \(m=2p-1\), то \(l=2p-1+\frac{2p-1+1}{2}=3p-1\). Значит, \(k=l+\frac{2l-1}{3}=5p-2\) и \(n=\frac{ak-2}{5}=19p-8\)
Ответ: при \(n=19p-8\), \(p\in N\) - Условие задачи: Сумма квадратов крайних чисел четырехзначного числа M равна 58. Сумма квадратов средних цифр этого числа равна 68. Сумма числа M и числа 4536 равна числу, записанному теми же цифрами числа М, но в обратном порядке. Найдите число M.
Решение: Пусть число имеет вид \(\overline{abcd}\). Тогда \(a^2+d^2=58\), \(c^2+b^2=68\). И \(a\cdot 1000+b\cdot 100+c\cdot 10+d+4356\) \(=d\cdot 1000+c\cdot 100+b\cdot 10+a\). Складывая числа в разряде единиц, слева получим два возможных варианта: \(d+6=a\) (если \(d+6<10\)) или \(d+6=10+a\) (если \(d+6\geq 10\)). В первом случае получаем, что \((d+6)^2+d^2=58\) и \(d=-3\pm\sqrt{20}\) – не целое. Во втором случае: \(d=4+a\) и \(a^2+(4+a)^2=58\), откуда \(a=3\). Тогда \(d=7\).
Аналогично \(c+3+1=b\) или \(c+3+1=10+b\). В первом случае получаем, что \(c^2+(c+4)^2=68\) и \(c=-2\pm\sqrt{30}\) – не подходит. Во втором случае \((b+6)^2+b^2=68\) и \(b=2, c=8\).
Ответ: 3287