Решение текстовых задач на работу

Задачи 8 и 11

Весь список текстовых задач на работу здесь.

8. Условие задачи: Двое выполняют работу. Сначала первый работал $\frac{1}{3}$  времени, за которое второй выполняет всю работу. Затем второй работал $\frac{1}{3}$ времени, за которое первый закончил бы оставшуюся часть работы. Они выполнили только $\frac{11}{18}$ все работы. Сколько времени требуется каждому для выполнения этой работы, если известно, что при совместной работе они сделают ее за 3 ч 36 мин?
   Решение: Пусть $x$ ч и $y$ ч время, за которое выполняют всю работу первый и второй соответственно. Тогда $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ - те части работы, которые они выполняют за 1 ч. Работая $\frac{y}{3}$ времени (по условию), первый выполнит $\frac{y}{3x}$ часть работы. Останется невыполненной $1-\frac{y}{3x}$ часть работы, на которую первый затратил бы $(1-\frac{y}{3x}):\frac{1}{x}$ ч.
   По условию, второй работает $\frac{1}{3}$ этого времени. Тогда он выполнит $\frac{x}{3}(1-\frac{y}{3x})\cdot\frac{1}{y}$ часть работы. Так как вдвоем они выполнили только $\frac{11}{18}$ всей работы, то первое уравнение имеет вид: $\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}\cdot (1-\frac{y}{3x})=\frac{11}{18}$.
   Работая совместно, они за 1 ч сделают $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ всей работы. Тогда $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{18}$, так как 3 ч 36 мин = $\frac{18}{5}$ ч. Пусть $\frac{y}{x}=t$, тогда из первого уравнения получим квадратное $6t^2-13t+6=0$ с корнями $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$. Рассмотрим оба случая. Получим x = 6, y = 9 или x=9, y = 6.
   Ответ: 6 ч и 9 ч
11. Условие задачи: В котлован равномерно поступает вода. Десять одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 ч, а 15 таких насосов - за 6 часов. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе?
    Решение: Пусть объем котлована равен $V$ м³, а производительность каждого насоса - $x$ м³/ч. Вода поступает в котлован непрерывно. Пусть $y$ м³/ч - объем поступления воды в котлован. Десять насосов за 12 ч откачают $120x$ воды. Это количество равно полному объем котлована и объему той воды, которая поступит в котлован за 12 ч. Весь этот объем равен $V+12y$. Тогда $120x=V+12y$.
    Аналогично второе уравнение: $90x=V+6y$. Получаем из этих двух уравнений, что $y=5x$.
    Пусть $t$ - время, в течение которого будут работать 25 насосов. Тогда $25tx=V+ty$. Подставляем из первых двух уравнений $y$ и $V$, имеем, что $20tx=60x$. Откуда $t=3$.
    Ответ: за 3 ч