Решение текстовых задач на работу

Задачи 8 и 11

Весь список текстовых задач на работу здесь.

8. Условие задачи: Двое выполняют работу. Сначала первый работал \(\frac{1}{3}\)  времени, за которое второй выполняет всю работу. Затем второй работал \(\frac{1}{3}\) времени, за которое первый закончил бы оставшуюся часть работы. Они выполнили только \(\frac{11}{18}\) все работы. Сколько времени требуется каждому для выполнения этой работы, если известно, что при совместной работе они сделают ее за 3 ч 36 мин?
   Решение: Пусть \(x\) ч и \(y\) ч время, за которое выполняют всю работу первый и второй соответственно. Тогда \(\frac{1}{x}\) и \(\frac{1}{y}\) – те части работы, которые они выполняют за 1 ч. Работая \(\frac{y}{3}\) времени (по условию), первый выполнит \(\frac{y}{3x}\) часть работы. Останется невыполненной \(1-\frac{y}{3x}\) часть работы, на которую первый затратил бы \((1-\frac{y}{3x}):\frac{1}{x}\) ч.
   По условию, второй работает \(\frac{1}{3}\) этого времени. Тогда он выполнит \(\frac{x}{3}(1-\frac{y}{3x})\cdot\frac{1}{y}\) часть работы. Так как вдвоем они выполнили только \(\frac{11}{18}\) всей работы, то первое уравнение имеет вид: \(\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}\cdot (1-\frac{y}{3x})=\frac{11}{18}\).
   Работая совместно, они за 1 ч сделают \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) всей работы. Тогда \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{18}\), так как 3 ч 36 мин = \(\frac{18}{5}\) ч. Пусть \(\frac{y}{x}=t\), тогда из первого уравнения получим квадратное \(6t^2-13t+6=0\) с корнями \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{3}{2}\). Рассмотрим оба случая. Получим x = 6, y = 9 или x=9, y = 6.
   Ответ: 6 ч и 9 ч
11. Условие задачи: В котлован равномерно поступает вода. Десять одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 ч, а 15 таких насосов – за 6 часов. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе?
    Решение: Пусть объем котлована равен \(V\) м³, а производительность каждого насоса – \(x\) м³/ч. Вода поступает в котлован непрерывно. Пусть \(y\) м³/ч – объем поступления воды в котлован. Десять насосов за 12 ч откачают \(120x\) воды. Это количество равно полному объем котлована и объему той воды, которая поступит в котлован за 12 ч. Весь этот объем равен \(V+12y\). Тогда \(120x=V+12y\).
    Аналогично второе уравнение: \(90x=V+6y\). Получаем из этих двух уравнений, что \(y=5x\).
    Пусть \(t\) – время, в течение которого будут работать 25 насосов. Тогда \(25tx=V+ty\). Подставляем из первых двух уравнений \(y\) и \(V\), имеем, что \(20tx=60x\). Откуда \(t=3\).
    Ответ: за 3 ч