Решение текстовых задач на движение

Задачи 4 - 6

Весь список текстовых задач на движение здесь.

4. Условие задачи: Расстояние между станциями A и B равно 103 км. Из A в B вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся до B путь проходил со скоростью, на 4 км/ч большей, чем прежняя. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что оставшийся до B путь был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и что на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до нее.
   Решение: Пусть точка С - точка остановки поезда на отрезке AB. Если обозначить AC за $x$ км, то CB равно $x+23$ км. Так как $103=2x+23$, то $x=40$ км. Пусть $v$ км/ч - скорость поезда от A до С, тогда от С до B скорость равна $v+4$ км/ч. Приходим к уравнению $\displaystyle\frac{63}{v+4}-\frac{40}{v}=\frac{1}{4}$, откуда $v=80$ (второй корень $v=8$ не подходит по смыслу задачи)
   Ответ: 80 км/ч
5. Условие задачи: Скорость автомобиля по ровному участку на 5 км/ч меньше, чем скорость под гору, и на 15 км/ч больше, чем скорость в гору. Дорога из A в B идет в гору и равна 100 км. Определить скорость автомобиля по ровному участку, если расстояние от A до B и обратно он проехал за 1 ч 50 мин.
   Решение: Пусть $x$ км/ч - скорость автомобиля по ровному участку, тогда при движении от А к В скорость равна $x-5$, время движения равно $\displaystyle\frac{100}{x-5}$ ч. При движении от В к А скорость равна $x+15$, время движения равно $\displaystyle\frac{100}{x+15}$ ч. Так как расстояние от А до В и обратно автомобиль проехал за 1 ч 50 мин, что равно $\displaystyle\frac{11}{6}$ ч, то приходим к уравнению $\displaystyle\frac{100}{x-5}+\frac{100}{x+15}=\frac{11}{6}$, откуда $11x^2-1090x-6825=0$ и $x=105$ (второй корень отрицателен).
   Ответ: 105 км/ч
6. Условие задачи: Автобус проходит расстояние между пунктами A и B по расписанию за 5 ч. Однажды, выйдя из A, автобус был задержан на 10 мин в 56 км от A и, чтобы прибыть в B по расписанию, он должен был оставшуюся большую часть пути двигаться со скоростью, превышающей первоначальную на 2 км/ч. Найти скорость движения автобуса по расписанию и расстояние между пунктами A и B, если известно, что это расстояние превышает 100 км.
   Решение: Пусть $v$ км/ч - скорость автобуса по расписанию. Тогда $AB$ равно $5v$ км. Расстояние в 56 км от пункта А автобус преодолел за $\displaystyle\frac{56}{v}$ ч. Оставшееся расстояние $5v-56$ км он проехал со скоростью $v+2$ км/ч и затратил на это $\displaystyle\frac{5v-56}{v+2}$ ч. Сумма указанных отрезков времени равна $5-\displaystyle\frac{1}{6}=\frac{29}{6}$ ч (автобус стоял 10 мин). Получаем уравнение $\displaystyle\frac{56}{v}+\frac{5v-56}{v+2}=\frac{29}{6}$, откуда $v^2-58v+672=0$. Тогда $v=42$ или $v=16$. Значение второго корня не подходит, так как тогда $AB$ равно 80.
   Ответ: 42 км/ч; 210 км