Текстовые задачи на проценты. Решение задач 5, 7 и 14

Решение текстовых задач на проценты

Проценты

Задачи 5, 7 и 14

Весь список текстовых задач на проценты здесь.

  1. Условие задачи: За первый квартал автозавод выполнил 25% годового плана выпуска машин. Количество машин, выпущенных за второй, третий и четвертый кварталы, оказалось пропорциональным числам 15, 16 и 18. Определить перевыполнение годового плана выпуска в процентах, если во втором квартале автозавод выпустил продукции на 8% больше, чем в первом.
    Решение: 
    Пусть \(x,y,u,v\) – количество машин, выпущенных соответственно за первый, второй, третий и четвертый кварталы. Если \(A\) – годовой план выпуска машин, то \(x=0,25A\), \(y:u:v=15:16:18\) и \(y=1,08x=0,27A\). Получаем пропорции: \(\frac{y}{u}=\frac{15}{16}\) и \(\frac{y}{v}=\frac{15}{18}\). Откуда \(u=\frac{16}{15}\cdot 0,27A=0,288A\) и \(v=\frac{6}{5}\cdot 0,27A=0,324A\). Тогда количество машин, выпущенных за четыре квартала, равно \(x+y+u+v=0,25A+0,27A+0,288A+0,324A=1,132A\). Значит, годовой план перевыполнен на 13,2%.
    Ответ: 13,2 %
  2. Условие задачи: Банк выделил определенную сумму денег на кредиты трем организациям сроком на год. Организация A получила кредит в размере 40% от выделенной суммы под 30% годовых, организация B — 40% от оставшейся суммы под 15% годовых. Последнюю часть выделенной суммы получила организация C. Через год, когда кредиты были погашены, оказалось, что банк получил прибыль в размере 21%. Под какие проценты был выдан кредит организации C?

    Решение:
    Пусть S – сумма, выделенная банком на кредиты организациям А, В и С, \(\alpha\) – проценты (в долях), под которые был выдан кредит организации С. Тогда организации А был выделен кредит в размере 0,4S, который через год принес банку прибыль, равную \(0,4S\cdot 0,3=0,12S\).
    Организации В был выделен кредит в размере \((S-0,4S)\cdot 0,4=0,24S\), который через год принес банку прибыль, равную \(0,24S\cdot 0,15=0,036S\).
    Организации С был выделен кредит в размере \(S-0,4S-0,24S=0,36S\), который через год принес банку прибыль, равную \(0,36S\alpha\). Суммарная прибыль равна \(0,156S+0,36\alpha\) и она равна также \(0,12S\). Получаем уравнение, из которого \(\alpha=0,15\).
    Ответ: 15%
  3. Условие задачи: Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же количество процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое количество процентов. В результате получили 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали данное число?

    Решение: 
    Пусть данное число увеличивали, а затем уменьшали на \(p\)%. Тогда по формуле сложных процентов получаем уравнение: \(51,2(1+\frac{p}{100})^3(1-\frac{p}{100})^3=21,6\), то есть \(512(1-(\frac{p}{100})^2)^3=216\). Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения, получаем \(8(1-(\frac{p}{100})^2)=6\), откуда \(p=0,5\).
    Ответ: на 50%