Решение текстовых задач на движение

Задачи 7 - 9

Весь список текстовых задач на движение здесь.

7. Условие задачи: Поезд проходит мимо платформы за 32 с. За сколько секунд поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя, если длина поезда равна длине платформы?
   Решение: Пусть $L$ м - длина платформы (и поезда), $v$ м/c - скорость поезда, $t$ с - время, за которое поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя. Если начало поезда обозначить за точку А, то при прохождении поезда мимо платформы точка А проходит расстояние $2L$ со скоростью поезда. Поэтому $2L=32v$. Для случая с неподвижным наблюдателем верно равенство $L=vt$. Из этих двух уравнений находим $t=16$.
   Ответ: 16 c
8. Условие задачи: Два поезда отправляются навстречу друг другу с постоянными скоростями, один из А в В, другой из В в А. Они могут встретиться на середине пути, если поезд из А отправится на 1,5 ч раньше. Если бы оба поезда вышли одновременно, то через 6 ч расстояние между ними составило бы десятую часть первоначального. Сколько часов каждый поезд тратит на прохождение пути между А и В?
   Решение: Пусть расстояние между A и B равно $S$, а скорости поездов равны $v_1$ и $v_2$ (первая скорость соответствует поезду, идущему из A в B). Если бы поезд из А отправился на 1,5 ч раньше, то за это время он прошел бы расстояние $1,5v_1$, и между поездами было бы расстояние $S-1,5v_1$. Тогда время встречи поездов $t_1=\displaystyle\frac{S-1,5v_1}{v_1+v_2}$. За это время поезд из В в А проходит половину пути, то есть $\displaystyle\frac{S}{2}=t_1v_2$. Значит, $\displaystyle\frac{S}{2}=v_2\frac{S-1,5v_1}{v_1+v_2}$.
   Если бы оба поезда вышли одновременно, то за 6 ч они прошли бы расстояния $6v_1$ и $6v_2$. Между ними оставалось бы расстояние, равное десятой части первоначального, то есть за 6 ч вместе они прошли бы $0,9$ всего расстояние: $6v_1+6v_2=0,9S$.
   Получаем систему из двух уравнений. Так как необходимо найти $\displaystyle\frac{S}{v_1}$ и $\displaystyle\frac{S}{v_1}$, то разделим обе части первого уравнения на $S^2$, а второго - на $S$, и введем обозначения $\displaystyle\frac{V_1}{S}=x$ и $\displaystyle\frac{V_2}{S}=y$. Тогда $\left\{\begin{array}{l l} y-x=3xy,\\ 6x+6y=0,9\end{array}\right.$.
   Выразим из второго уравнения $y$ и подставим в первое. Получим уравнение $3x^2-2,45x-0,15=0$, откуда $x=\displaystyle\frac{1}{15}$. Для второго корня  $x$ соответствующий $y$ равен отрицательному числу, поэтому не подходит.
   Ответ: 12 ч; 15 ч
9. Условие задачи: От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз на 96 км, потом повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути расстоянии 24 км от А.
   Решение: Пусть $v$ км/ч - скорость катера в стоячей воде, $v_1$ км/ч - скорость течение (скорость плота). Тогда скорость катера по течению равна $v+v_1$ км/ч, следовательно, на путь вниз по течению катер затратил $\displaystyle\frac{96}{v+v_1}$ ч, а на обратный путь $\displaystyle\frac{96}{v-v_1}$ ч. Поэтому $\displaystyle\frac{96}{v+v_1}+\frac{96}{v-v_1}=14$.
   До момента встречи катер и плот двигались одно и то же время. При этом катер прошел 96 км по течению и $96-24=72$ км против течения, а плот проплыл $24$ км по течению. Получаем уравнение $\displaystyle\frac{24}{v_1}=\frac{96}{v+v_1}+\frac{72}{v-v_1}$.
   Таким образом, имеем систему из двух уравнений, которая после упрощения принимает вид: $\left\{\begin{array}{l l} 96v=7v^2-6v_1^2,\\ 7vv_1=v^2\end{array}\right.$ Так как $v\ne v_1$, то из второго уравнения $v=7v_1$. Подставив в первое уравнение, находим $v_1=2$.
   Ответ: 2 км/ч