Решение пробного ЕГЭ 2015 по математике (март) Профильный уровень 11 класс
- Для покраски 67 кв. м необходимо
г краски. Это
кг. Значит, количество банок необходимо
. Но так как количество банок должно быть целым числом, то округляем, причем в большую сторону, так как округление в меньшую сторону означает, что краски на весь потолок не хватит. Значит, 8 банок.
- Одна клетка вдоль оси ординат (это вертикаль) значит 4 г. За первые три минуту функция изменила значение на 3 клетки, что соответствует 12 г. То есть 12 г вступило в реакцию за первые три минуты.
- Для каменного фундамента необходимо
р. Для бетонного необходимо
р. Дешевле будет стоить каменный фундамент.
- Похожая задача разбирается здесь (номер B5). Обрамим треугольник прямоугольником так, что все вершины треугольника принадлежат сторонам прямоугольника, а одна вершина еще и совпадает с вершиной прямоугольника. Такой прямоугольник состоит из исходного закрашенного треугольника и еще трех прямоугольных незакрашенных треугольников. Площадь закрашенного можно найти как разность площади прямоугольника и суммы площадей трех незакрашенных:
- Вероятность того, что чайник выйдет из строя в течение первых пяти лет равна
. И это вероятность равна сумме вероятностей двух несовместных событий: чайник вышел из строя в течение первых двух лет работы и чайник вышел из строя в течение следующих трех лет работы. Тогда
, откуда
.
- Так как
и
, то уравнение принимает вид
, то есть
и
.
- Синус угла А равен
, откуда
равно 16. Так как
(по метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике), то
равно
. Значит,
. Кстати, при нахождении каких-либо элементов треугольника себя всегда можно проверить здесь.
- Если производная положительна на каком-либо интервале, то соответствующая функция на этом интервале возрастает. Поэтому на [-7; -3]
возрастает, хотя производная то убывает, то возрастает. А важен только знак производной - и она положительна. Получается, что функция начинает движение с точки
и далее все время возрастает. Значит, наименьшее значение в точке
. Здесь в решении для простоты объяснения допущены некоторые вольности в фразах.
- Многогранник
является треугольной пирамидой с основанием
и высотой
. Поэтому его объем равен
.
- В решении нам пригодятся формулы приведения и формула для синуса двойного угла. Заметим, что
и
. Тогда выражение принимает вид
. Домножим числитель и знаменатель дроби на
и тогда к знаменателю применима формула для синуса двойного угла. После сокращения получаем
.
- Поставим известные данные в формулу
. Получим
. И перейдем к неравенству
, которое решим методом интервалов. Перенесем
в левую часть, приведем к общему знаменателю дроби и получим в итоге, что
. Откуда
и наибольшее значение
равно
.
- Вспомним две формулы: объем шара равен
и объем конуса равен
. Но в данном конусе высота равна радиусу
шара, так как центр шара совпадает с центром основания конуса. Значит,
, откуда
. И объем конуса равен
.
- Производительность первого переводчика равна
стр/день, второго -
стр/день. Если первый возьмет себе
страниц, то второму останется
стр. Так как время работы каждого переводчика одинаково, то
, откуда
. Значит, первый переводчик должен взять себе на
стр меньше.
- Производная функции равна
. Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение:
(сократили на положительное выражение
без потери корней). Тогда
, откуда
или
. Производная меняет знак с "+" на "-" только в точке
.
- а) Возведем правую и левую части уравнения в квадрат. Однако, данное преобразование может привести к появлению посторонних корней. Поэтому дополнительно требуем, чтобы
. Получаем уравнение
. Здесь полезно повторить тригонометрические формулы. Решаем данное уравнение как квадратное относительно
. Тогда
. (второй корень
). Так как
должен быть неположительным, то
.
б) Решим двойное неравенство. Так как
, то есть целое число, то
или
. Подставляем данные значения в формулу
и находим два конкретных угла.
- Проведем через точку М прямую, параллельную AD, до пересечения в точке К с прямой SB. Точка К существует, так как прямая AD параллельна плоскости BSC. Тогда ADMK - искомое сечение. В равнобедренном треугольнике SDC известны все стороны, поэтому медиану DM без труда можно найти по формуле
(подробнее смотрите справочник). Медиана равна
. При нахождении каких-либо элементов треугольника себя всегда можно проверить здесь. Тогда в трапеции ADMK известны боковые стороны DM=AK и нижнее основание AD. Верхнее основание KM равно
, так как KM - средняя линия треугольника SBC. Осталось найти площадь равнобедренной трапеции, если известны все стороны. Для этого можно из точек K и M провести две высоты KH и MT на AD. Тогда TD равно
. И после нахождения высоты по теореме Пифагора в треугольнике MTD применить формулу площади трапеции
.
- В этом примере полезно вспомнить, что
можно заменить на эквивалентное по знаку выражение
(и учесть область определения логарифмов, конечно же). Повторить свойства логарифмов. Этот факт пригодится в конце решения. А пока упростим все слагаемые (и помним, что при преобразованиях меняются ограничения на
, которые проверим в конце решения):
. Так как
из-за существования логарифма в левой части, то
и неравенство принимает вид
. Откуда с учетом ограничений исходного неравенства получаем ответ. Самое важное: не забыть модуль, когда выносим четную степень; не забыть, что свойство
применимо только при
. Поэтому при разложении левой части в начале решения разложение квадратного трехчлена именно такое
, а не
.
- Если
- сумма в рублях, которую Васильев каждый год вкладывает в банк, то
- сумма через год,
- новый вклад через год,
- сумма через два года и так далее. Приходим к равенству
. Решив это линейное уравнение, получим
.
- Когда-то давно задачи такого типа часто встречались на вступительных экзаменах в МФТИ. И это радует. Каждую пару
можно рассматривать как точку на плоскости в заданной системе координат. Тогда система уравнений - это точки пересечения графиков уравнений. Второе уравнение системы
является уравнением окружности, если
. Тогда ее центр находится в точке
, а радиус равен
. Так как
- параметр, то данная окружность имеет фиксированный центр и произвольный радиус, который мы можем регулировать параметром. Необходимо подобрать такой параметр, чтобы окружность пересекла график первого уравнения только в одной точке. Первое уравнение преобразуем к виду
. Если вспомнить, что расстояние между двумя точками на плоскости может быть найдено по формуле
, то становится понятно, почему первое уравнение геометрически означает, что сумма расстояния от точки
до точки
и расстояния от точки
до точки
равна
. Но расстояние между точками
и
равно 2, поэтому точка
может быть только на отрезке между этими двумя точками. То есть графиком первого уравнения является отрезок. Осталось выбрать такое
, чтобы окружность пересекла отрезок ровно в одной точке.
- а) Довольно быстро строится пример:
. Вопрос только в фразе "Между ними произвольным образом расставляют знаки", то есть первое число
не может стать
. Поэтому такой пример, строго говоря, недопустим. Но, наверное, это замечание не стоит учитывать. б) Заметим, что
. Следовательно, можно изучить серии чисел из восьмерок. Если окажется, что в разбиении на восьмерки числа
каждая восьмерка чисел может давать в сумме ноль, то решение найдено. Действительно, такое разбиение существует (это восьмерки последовательных чисел) и знаки в каждой из них можно выбрать такие: +, -, -, +, -, +, +, -. в) Рассмотреть остаток от деления на 4.
смотрите еще Досрочный ЕГЭ март, 2015 по математике с ответами и решениями
В 6 задании
спасибо, в ответах правильно, здесь же опечатка