Решение пробного ЕГЭ 2015 по математике (март) Профильный уровень 11 класс

перейти к условиям задач

1. Для покраски 67 кв. м необходимо \(67\cdot 160 = 10720\) г краски. Это \(10,72\) кг. Значит, количество банок необходимо \(10,72 : 1,5 \approx 7,13\). Но так как количество банок должно быть целым числом, то округляем, причем в большую сторону, так как округление в меньшую сторону означает, что краски на весь потолок не хватит. Значит, 8 банок.
2. Одна клетка вдоль оси ординат (это вертикаль) значит 4 г. За первые три минуту функция изменила значение на 3 клетки, что соответствует 12 г. То есть 12 г вступило в реакцию за первые три минуты.
3. Для каменного фундамента необходимо \(7\cdot 1500 +8\cdot 250=12500\) р. Для бетонного необходимо \(5\cdot 710+36\cdot 250=12550\) р. Дешевле будет стоить каменный фундамент.
4. Похожая задача разбирается здесь (номер B5). Обрамим треугольник прямоугольником так, что все вершины треугольника принадлежат сторонам прямоугольника, а одна вершина еще и совпадает с вершиной прямоугольника. Такой прямоугольник состоит из исходного закрашенного треугольника и еще трех прямоугольных незакрашенных треугольников. Площадь закрашенного можно найти как разность площади прямоугольника и суммы площадей трех незакрашенных: \(4\cdot 7 -\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 7-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 4=\frac{19}{2}\)
5. Вероятность того, что чайник выйдет из строя в течение первых пяти лет равна \(1-0,48=0,52\). И это вероятность равна сумме вероятностей двух несовместных событий: чайник вышел из строя в течение первых двух лет работы и чайник вышел из строя в течение следующих трех лет работы. Тогда \(0,32 + p =0,52\), откуда \(p=0,2\).
6. Так как \(\displaystyle\frac{1}{2}=2^{-1}\) и \((a^n)^m=a^{n\cdot m}\), то уравнение принимает вид \(2^{3-2x}=16\Leftrightarrow 2^{3-2x}=2^4\), то есть \(3-2x=4\) и \(x=-0,5\).
7. Синус угла А равен \(\displaystyle\frac{CB}{AB}=\frac{12}{AB}=\frac{3}{4}\), откуда \(AB\) равно 16. Так как \(CB^2=HB\cdot AB\) (по метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике), то \(HB\) равно \(9\). Значит, \(AH=16-9=7\). Кстати, при нахождении каких-либо элементов треугольника себя всегда можно проверить здесь.
8. Если производная положительна на каком-либо интервале, то соответствующая функция на этом интервале возрастает. Поэтому на [-7; -3] \(y=f(x)\) возрастает, хотя производная то убывает, то возрастает. А важен только знак производной – и она положительна. Получается, что функция начинает движение с точки \(x=-7\) и далее все время возрастает. Значит, наименьшее значение в точке \(x=-7\). Здесь в решении для простоты объяснения допущены некоторые вольности в фразах.
9. Многогранник \(DCBB_1\) является треугольной пирамидой с основанием \(BCD\) и высотой \(B_1B\). Поэтому его объем равен \(\displaystyle\frac{1}{3}\cdot BB_1\cdot \frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD\) \(=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 6\cdot\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5=20\).
10. В решении нам пригодятся формулы приведения и формула для синуса двойного угла. Заметим, что \(\sin 178^{o}=\sin(180^{o}-2^{o})=\sin 2^{o}\) и \(\sin 89^{o}=\sin(90^{o}-1^{o})=\cos 1^{o}\). Тогда выражение принимает вид \(\displaystyle\frac{-7\sin 2^{o}}{\cos 1^{o}\cdot \sin 1^{o}}\). Домножим числитель и знаменатель дроби на \(2\) и тогда к знаменателю применима формула для синуса двойного угла. После сокращения получаем \(-14\).

11. Поставим известные данные в формулу \(f=f_o\cdot\frac{c+u}{c-v}\). Получим \(f=140\cdot\frac{c+14}{c-10}\). И перейдем к неравенству \(140\cdot\frac{c+14}{c-10}\ge 150\), которое решим методом интервалов. Перенесем \(150\) в левую часть, приведем к общему знаменателю дроби и получим в итоге, что \(\frac{c-346}{c-10}\le 0\). Откуда \(c\in (10; 346]\) и наибольшее значение \(c\) равно \(346\).
12. Вспомним две формулы: объем шара равен \(\frac{4}{3}\pi R^3\) и объем конуса равен \(\frac{1}{3}\cdot \pi R^2 h\). Но в данном конусе высота равна радиусу \(h=R\) шара, так как центр шара совпадает с центром основания конуса. Значит, \(\frac{4}{3}\pi R^3=60\), откуда \(\pi R^3 = 45\). И объем конуса равен \(\frac{1}{3}\cdot 45=15\).
13. Производительность первого переводчика равна \(\frac{58}{29}=2\) стр/день, второго – \(\frac{50}{20}=2,5\) стр/день. Если первый возьмет себе \(x\) страниц, то второму останется \(108-x\) стр. Так как время работы каждого переводчика одинаково, то \(\displaystyle\frac{x}{2}=\frac{108-x}{2,5}\), откуда \(x=48\). Значит, первый переводчик должен взять себе на \(58-48=10\) стр меньше.
14. Производная функции равна \(y’=2(x+2)e^{3-x}+(x+2)^2e^{3-x}\cdot (-1)\). Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение: \(2(x+2)e^{3-x}-(x+2)^2e^{3-x}=0\)\(\Leftrightarrow 2(x+2)-(x+2)^2=0\) (сократили на положительное выражение \(e^{3-x}\) без потери корней). Тогда \(-x(x+2)=0\), откуда \(x=0\) или \(x=-2\). Производная меняет знак с “+” на “-” только в точке \(x=0\).
15. а) Возведем правую и левую части уравнения в квадрат. Однако, данное преобразование может привести к появлению посторонних корней. Поэтому дополнительно требуем, чтобы \(-2\cos x \ge 0\). Получаем уравнение \(7-8\sin x=4\cos^2 x\Leftrightarrow 7-8\sin x=4(1-\sin^2 x)\)\(\Leftrightarrow 4\sin^2 x-8\sin x+3=0\). Здесь полезно повторить тригонометрические формулы. Решаем данное уравнение как квадратное относительно \(\sin x\). Тогда \(\sin x=\frac{1}{2}\). (второй корень \(\frac{3}{2}>1\)). Так как \(\cos x\) должен быть неположительным, то \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z\).
    б) Решим двойное неравенство \(-\frac{3\pi}{2}< \frac{5\pi}{6}+2\pi n< \frac{3\pi}{2}\)\(\Leftrightarrow -9< 5+12n< 9\)\(\Leftrightarrow -\frac{7}{6}< n<\frac{1}{3}\). Так как \(n\in Z\), то есть целое число, то \(n=0\) или \(n=-1\). Подставляем данные значения в формулу \(\frac{5\pi}{6}+2\pi n\) и находим два конкретных угла.
16. Проведем через точку М прямую, параллельную AD, до пересечения в точке К с прямой SB. Точка К существует, так как прямая AD параллельна плоскости BSC. Тогда ADMK – искомое сечение. В равнобедренном треугольнике SDC известны все стороны, поэтому медиану DM без труда можно найти по формуле \(m=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)}-c^2\) (подробнее смотрите справочник). Медиана равна \(\frac{\sqrt{6}}{2}\). При нахождении каких-либо элементов треугольника себя всегда можно проверить здесь. Тогда в трапеции ADMK известны боковые стороны DM=AK и нижнее основание AD. Верхнее основание KM равно \(\frac{1}{2}\), так как KM – средняя линия треугольника SBC. Осталось найти площадь равнобедренной трапеции, если известны все стороны. Для этого можно из точек K и M провести две высоты KH и MT на AD. Тогда TD равно \(\frac{1}{4}\). И после нахождения высоты по теореме Пифагора в треугольнике MTD применить формулу площади трапеции \(S=\frac{a+b}{2}\cdot h\).
17. В этом примере полезно вспомнить, что \(\log_ab-\log_ac\) можно заменить на эквивалентное по знаку выражение \((a-1)(b-c)\) (и учесть область определения логарифмов, конечно же). Повторить свойства логарифмов. Этот факт пригодится в конце решения. А пока упростим все слагаемые (и помним, что при преобразованиях меняются ограничения на \(x\), которые проверим в конце решения): \(\log_{3-x}(3-x)+\log_{3-x}(2-x)\le \displaystyle\frac{2\log_{3-x}|x-3|}{2\log_{x+2}|x-3|}+1\). Так как \(3-x>0\) из-за существования логарифма в левой части, то \(|x-3|=3-x\) и неравенство принимает вид \(\log_{3-x}{(2-x)}-\log_{3-x}{(x+2)}\le 0\)\(\Leftrightarrow -2x(2-x)\le 0\). Откуда с учетом ограничений исходного неравенства получаем ответ. Самое важное: не забыть модуль, когда выносим четную степень; не забыть, что свойство \(\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\) применимо только при \(b>0, c>0\). Поэтому при разложении левой части в начале решения разложение квадратного трехчлена именно такое \((3-x)(2-x)\), а не \((x-2)(x-3)\).
19. Если \(x\) –  сумма в рублях, которую Васильев каждый год вкладывает в банк, то \(1,1x\) – сумма через год, \(1,1x+x\) – новый вклад через год, \(1,1(1,1x+x)\) – сумма через два года и так далее. Приходим к равенству \(1,1(1,1(1,1x+x)+x)=72820\). Решив это линейное уравнение, получим \(x=20000\).
20. Когда-то давно задачи такого типа часто встречались на вступительных экзаменах в МФТИ. И это радует. Каждую пару \((x,y)\) можно рассматривать как точку на плоскости в заданной системе координат. Тогда система уравнений – это точки пересечения графиков уравнений. Второе уравнение системы \(y^2+(x-2)^2+6=a\) является уравнением окружности, если \(a-6>0\). Тогда ее центр находится в точке \((2;0)\), а радиус равен \(\sqrt{a-6}\). Так как \(a\) – параметр, то данная окружность имеет фиксированный центр и произвольный радиус, который мы можем регулировать параметром. Необходимо подобрать такой параметр, чтобы окружность пересекла график первого уравнения только в одной точке. Первое уравнение преобразуем к виду \(\sqrt{(x+2)^2+(y+5)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}=2\). Если вспомнить, что расстояние между двумя точками на плоскости может быть найдено по формуле \(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\), то становится понятно, почему первое уравнение геометрически означает, что сумма расстояния от точки \((-2; -5)\) до точки \((x;y)\) и расстояния от точки \((-2; -3)\) до точки \((x;y)\) равна \(2\). Но расстояние между точками \((-2; -5)\) и \((-2;-3)\) равно 2, поэтому точка \((x;y)\) может быть только на отрезке между этими двумя точками. То есть графиком первого уравнения является отрезок. Осталось выбрать такое \(a\), чтобы окружность пересекла отрезок ровно в одной точке.
21. а) Довольно быстро строится пример: \(-1+4+9+16+25-36-49+64=32\). Вопрос только в фразе “Между ними произвольным образом расставляют знаки“, то есть первое число \(1^2\) не может стать \(-1^2\). Поэтому такой пример, строго говоря, недопустим. Но, наверное, это замечание не стоит учитывать. б) Заметим, что \(112= 13\cdot 8\). Следовательно, можно изучить серии чисел из восьмерок. Если окажется, что в разбиении на восьмерки числа \(112\) каждая восьмерка чисел может давать в сумме ноль, то решение найдено. Действительно, такое разбиение существует (это восьмерки последовательных чисел) и знаки в каждой из них можно выбрать такие: +, -, -, +, -, +, +, -.  в) Рассмотреть остаток от деления на 4. 

смотрите еще Досрочный ЕГЭ март, 2015 по математике с ответами и решениями