Решение досрочного ЕГЭ 2015 по математике (март) 11 класс
- Материал сайта www.itmathrepetitor.ru Стандартный алгоритм: находим производную функции
и приравниваем к нулю. Среди найденных корней уравнения (это нули производной) выбираем лишь те, которые принадлежат отрезку
. Добавляем к этим корням концевые точки отрезка
и
. А далее подставляем полученные значения в саму функцию
(не в производную!) вместо
и определяем наибольшее среди получившихся
.
Это все слова. Давайте конкретнее:. Для вычисления производной пригодились правила и таблица производных. Из уравнения
следует, что
. И кто-то от радости, что получилось простейшее уравнение, начинает применять формулу
, не обращая внимание на факт
. Правильный ответ уравнения: корней нет. Поэтому рассматривать будем лишь концевые точки
и
. При
значение функции (не производной!)
. При
значение
. То есть наибольшее значение равно
.
- а) Разложим на множители левую часть уравнения методом группировки:
. Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. То есть
или
. Второе уравнение не имеет корней, так как единица плюс неотрицательное число всегда больше нуля. Из первого уравнения получаем, что
.
б) Разобьем формулуна две более простых: 1)
; 2)
. Найдем корни из первой формулы, которые принадлежат
. Для этого решим двойное неравенство
(после сокращения на
и избавления от знаменателя)
. Так как
, то есть по-русски
- целое число (что это такое, смотрите здесь), то
. Тогда после подстановки в первую формулу получаем угол
.
Аналогично поступаем со второй формулой:. Данному неравенству никакое целое
не удовлетворяет. Значит, итоговый ответ пункта б):
.
- Проведем прямую через точку
параллельно
до пересечения с прямой
в точке
(смотрите рисунок). Точка
существует, так как точки
и
лежат в одной плоскости. Через точки
и
проведем прямую до пересечения с ребром
в некоторой точке. Именно в этой точке плоскость
пересекает ребро
, то есть это точка
. Треугольники
и
подобны, значит,
. Рассмотрим на плоскости грань
(смотрите второй рисунок).
Продлимдо пересечения с продолжением
в точке
. Треугольники
и
подобны, значит,
, то есть
, откуда
. Тогда
. Осталось заметить подобие треугольников
и
, из которого следует, что
, то есть
.
б) Объем большей части найдем как разность объема куба и меньшей части. Объем куба равен 125. Меньшая часть является треугольной пирамидой, объем которой можно найти по формуле
. Известно из условия, что
равно 5,
равно 2, а из пункта а), что
равно
. Тогда искомый объем равен
.
- Материал сайта www.itmathrepetitor.ru Сразу заметим, что
. Тогда после замены
неравенство принимает вид
. Данное неравенство можно решить методом интервалов, для этого разложим левую часть на множители
. Конечно, стоит научиться решать квадратные неравенства почти устно. В общем,
. Вернемся к переменной
и запишем данный ответ в виде совокупности двух неравенств
и
.
Рассмотрим первое неравенство. Так как, то оно равносильно неравенству
. Данное неравенство не имеет решений, так как квадратный трехчлен не имеет корней и коэффициент при
больше нуля (то есть квадратный трехчлен принимает только положительные значения).
Рассмотрим второе неравенство. Оно равносильно системе неравенств. Тогда
.
- а) Пусть точки
и
- точки касания окружности со сторонами
и
соответственно. Точка
- точка касания окружности с прямой
. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности,
,
и
. Тогда
. Но
равно половине стороны квадрата. Значит,
равен стороне квадрата.
смотрите еще Репетиционный вариант ЕГЭ март, 2015
B1F:FD1=2:3
Тут,наверное,должно быть B1D1 вместо FD1?(16 задание)или я ошибаюсь?
ошибаетесь
В 16 можно было сразу заметить, что треугольник B1PF и C1FD1 подобны и не устраивать возни с продлением, найти B1P (10/3), что составляет 2/3 от B1A1, и далее получить искомое отношение 2/1.