Вступительный экзамен в ШАД 20 мая 2017

Вступительный экзамен в ШАД 2017

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
20 мая 2017

Условия задач

Верно ли, что если матрица $A\in Mat_n(R)$ симметрична и положительна определена, то квадратичная форма $q(X)=tr(X^TAX)$ на пространстве $Mat_n(R)$ будет положительно определенной?
Известно, что $a_0+\displaystyle\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+...+\frac{a_n}{n+1}=0$ . Докажите, что многочлен $a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ имеет хотя бы один действительный корень.
Пусть $X_1,...,X_n$ - независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием $a$ и дисперсией $\sigma^2$ , принимающие положительные значения. Пусть также $m<n$ . Найдите математическое ожидание отношения $\displaystyle\frac{X_1+...+X_m}{X_1+...+X_n}$ .
Черный куб покрасили снаружи белой краской, затем разрезали на 27 одинаковых маленьких кубиков и как попало сложили из них большой куб. С какой вероятностью все грани этого куба будут белыми?
Придумайте структуру для хранения действительных чисел, которая могла бы выполнять запросы "добавить элемент", "удалить элемент", "удалить максимальный элемент" и "удалить минимальный элемент", причем последние два выполняла бы за время O(1). Постарайтесь также минимизировать время выполнения первых двух запросов. Можно ли сделать так, чтобы и они тоже выполнялись за время O(1)?
Последовательность $a_n$ задана условиями $a_1=1$ , $a_{n+1}=\sin(a_n)$ . Сходится ли ряд $\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ ?
Назовем матрицу вращательной, если при повороте на 90^о вокруг центра она не меняется. а) Докажите, что для любого набора чисел $\lambda_1,...,\lambda_k\in R$ найдется $n\in N$ и вращательная матрица n x n, для которой $\lambda_1,...,\lambda_k$ являются собственными значениями; б) Докажите, что у вращательной матрицы с действительными коэффициентами все собственные векторы $v$ с отличными от нуля действительными собственными значениями симметричны (то есть $v_i=v_{n-i+1}$ ).
В неориентированном графе без петель и кратных ребер $2n$ вершин и $n^2+1$ ребро. Треугольником в графе называется фигура, состоящая из трех вершин и трех соединяющих их ребер. Докажите, что в этом графе найдутся два треугольника с общим ребром.