ЕГЭ по математике 2015

Решение тренировочной работы от 22 апреля 2015 МИОО

Профильный уровень

условия задач здесь

Решение задач (в процессе)

1. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Если покупать подписку, то за полгода требуется заплатить 830 р, без подписки за 25 журналов придется заплатить \(25\cdot 37=925\) р. Значит, разница составляет \(925-830=95\) р.
2. Находим на оси абсцисс (горизонтальной оси) точку, соответствующую числу 1. Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком в точке А. Из точки А опускаем перпендикуляр на ось ординат (вертикальную ось). По точке пересечения это перпендикуляра и определяем ответ. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru.
5. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Вероятность того, что чайник прослужит не более двух лет, равна \(1-0,87=0,13\). Вероятность того, что чайник прослужит не более одного года, равна \(1-0,93=0,07\). Тогда искомая вероятность равна \(0,13 – 0,07=0,06\), так как \(P({t\le 2})=P({t\le 1})+P({1<t\le 2})\).
6. Сократим знаменатели с левой и правой частях (при этом теряем ограничение \(x\ne 7\), которое проверим в конце решения). Тогда \(x+89=-5\) и \(x=-94\), что не равно \(7\).
7. Рассмотрим треугольник AOC (см. рис). Угол АОС является центральным (точка О – центр окружности), поэтому угол АВС в два раза меньше угла АОС. Так как ОС – диагональ квадрата 2 х 2, то угол ОСА равен 45^о, а угол АОС прямой. Поэтому угол АВС равен 90/2 = 45 градусов.
10. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. После вынесения \(\sqrt{50}\) за скобки, применим формулу двойного угла для косинуса. Тогда \(\sqrt{50}\cos\displaystyle\frac{3\pi}{4}=\sqrt{50}\cdot (-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{\sqrt{100}}{2}=-5\). Заметим, что по формулам приведения \(\cos\displaystyle\frac{3\pi}{4}=\cos(\pi – \frac{\pi}{4})=-\cos\frac{\pi}{4}\).
12. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Гипотенуза основания равна \(\sqrt{5^2+12^2}=13\) (по теореме Пифагора). Тогда по формуле \(S=P\cdot H\), где \(S\) – площадь боковой поверхности прямой призмы, \(P\) – периметр основания, \(H\) – высота призмы, получаем, что \(S=8\cdot (5+12+13)=240\), так как в прямой призме боковое ребро является высотой.
13. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Средняя скорость может быть найдена как отношение всего пути к отношению потраченного времени, то есть \(\displaystyle\frac{2S}{\frac{S}{22}+\frac{S}{418}}\). После сокращения \(S\) – расстояния в одну сторону путешествия и упрощения, получаем \(41,8\).
14. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Производная функции \(y\) равна \(y’=(54-x)’\cdot e^{x+54}+(54-x)\cdot (e^{x+54})’\) \(=-e^{x+54}+(54-x)e^{x+54}\). Приравняем ее к нуля и сократим \(e^{x+54}\). Тогда \(-1+54-x=0\), откуда \(x=53\). Осталось исследовать знаки производной в окрестности найденной точки.
15. a) Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Применим формулу двойного угла для косинуса, получим уравнение \(2\cos^2 x-3\cos x+1=0\), которое является квадратным относительно \(\cos x\).
    Решив его, получим, что \(\cos x=1\) или \(\cos x=\frac{1}{2}\). Откуда \(x=2\pi k, k\in Z\) и \(x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z\).
    б) Представим найденное в пункте а) решение в виде трех формул \(2\pi k, \frac{\pi}{3}+2\pi k, -\frac{\pi}{3}+2\pi k\). Далее решаем три неравенства \(-4\pi\le 2\pi k\le-\frac{5\pi}{2}\), \(-4\pi\le \frac{\pi}{3}+2\pi k\le -\frac{5\pi}{2}\) и \(-4\pi\le -\frac{\pi}{3}+2\pi k\le -\frac{5\pi}{2}\). Получаем \(-2\le k\le -\frac{5}{4}\), \(-\frac{13}{6}\le k \le -\frac{17}{12}\) и \(-\frac{11}{6}\le k\le -\frac{13}{12}\). Так как \(k\in Z\), то есть \(k\) – целое число, то \(k=-2\) для первого неравенства, \(k=-2\) для второго неравенства, для третьего неравенства целых значений \(k\) не существует.
    Осталось подставить каждое из найденных \(k\) в свою формулу и вычислить конкретные углы.
17. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Заметим, что \(1-4x+4x^2=(1-2x)^2\). Тогда числитель можно записать как  \(\log_{1-2x}(x+1)+2\log_{1-2x}|1-2x|\). Так как \(1-2x>0\), то \(|1-2x|=1-2x\) и числитель равен \(\log_{1-2x}(x+1)+2\). Пусть \(\log_{1-2x}(x+1)=t\), тогда \(t(t+2)\le -1\)\(\Leftrightarrow (t+1)^2\le 0\). Так как квадрат неотрицателен для любого \(t\), то \(t=-1\). Поэтому \(\log_{1-2x}(x+1)=\log_{1-2x}\frac{1}{1-2x}\) и \(x+1=\frac{1}{1-2x}\), откуда \(x=0\) или \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\). После проверки получаем, что \(x=-0,5\).
18. Треугольник ATB подобен треугольнику THC, треугольник TBH подобен треугольнику DTC. Поэтому \(\displaystyle\frac{TH}{DC}=\frac{TB}{TC}\) и \(\displaystyle\frac{TB}{TC}=\frac{AB}{TH}\). Значит, \(\displaystyle\frac{TH}{9}=\frac{4}{TH}\), откуда \(TH^2=36\) и \(TH=6\). Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru.

смотрите еще ЕГЭ 2015 Демонстрационный вариант (профильный уровень)