ЕГЭ по математике 2015

Решение тренировочной работы от 22 апреля 2015 МИОО

Профильный уровень

условия задач здесь

Решение задач (в процессе)

1. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Если покупать подписку, то за полгода требуется заплатить 830 р, без подписки за 25 журналов придется заплатить $25\cdot 37=925$ р. Значит, разница составляет $925-830=95$ р.
2. Находим на оси абсцисс (горизонтальной оси) точку, соответствующую числу 1. Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком в точке А. Из точки А опускаем перпендикуляр на ось ординат (вертикальную ось). По точке пересечения это перпендикуляра и определяем ответ. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru.
5. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Вероятность того, что чайник прослужит не более двух лет, равна $1-0,87=0,13$. Вероятность того, что чайник прослужит не более одного года, равна $1-0,93=0,07$. Тогда искомая вероятность равна $0,13 - 0,07=0,06$, так как $P({t\le 2})=P({t\le 1})+P({1<t\le 2})$.
6. Сократим знаменатели с левой и правой частях (при этом теряем ограничение $x\ne 7$, которое проверим в конце решения). Тогда $x+89=-5$ и $x=-94$, что не равно $7$.
7. Рассмотрим треугольник AOC (см. рис). Угол АОС является центральным (точка О - центр окружности), поэтому угол АВС в два раза меньше угла АОС. Так как ОС - диагональ квадрата 2 х 2, то угол ОСА равен 45^о, а угол АОС прямой. Поэтому угол АВС равен 90/2 = 45 градусов.
10. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. После вынесения $\sqrt{50}$ за скобки, применим формулу двойного угла для косинуса. Тогда $\sqrt{50}\cos\displaystyle\frac{3\pi}{4}=\sqrt{50}\cdot (-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{\sqrt{100}}{2}=-5$. Заметим, что по формулам приведения $\cos\displaystyle\frac{3\pi}{4}=\cos(\pi - \frac{\pi}{4})=-\cos\frac{\pi}{4}$.
12. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Гипотенуза основания равна $\sqrt{5^2+12^2}=13$ (по теореме Пифагора). Тогда по формуле $S=P\cdot H$, где $S$ - площадь боковой поверхности прямой призмы, $P$ - периметр основания, $H$ - высота призмы, получаем, что $S=8\cdot (5+12+13)=240$, так как в прямой призме боковое ребро является высотой.
13. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Средняя скорость может быть найдена как отношение всего пути к отношению потраченного времени, то есть $\displaystyle\frac{2S}{\frac{S}{22}+\frac{S}{418}}$. После сокращения $S$ - расстояния в одну сторону путешествия и упрощения, получаем $41,8$.
14. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Производная функции $y$ равна $y'=(54-x)'\cdot e^{x+54}+(54-x)\cdot (e^{x+54})'$ $=-e^{x+54}+(54-x)e^{x+54}$. Приравняем ее к нуля и сократим $e^{x+54}$. Тогда $-1+54-x=0$, откуда $x=53$. Осталось исследовать знаки производной в окрестности найденной точки.
15. a) Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Применим формулу двойного угла для косинуса, получим уравнение $2\cos^2 x-3\cos x+1=0$, которое является квадратным относительно $\cos x$.
    Решив его, получим, что $\cos x=1$ или $\cos x=\frac{1}{2}$. Откуда $x=2\pi k, k\in Z$ и $x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$.
    б) Представим найденное в пункте а) решение в виде трех формул $2\pi k, \frac{\pi}{3}+2\pi k, -\frac{\pi}{3}+2\pi k$. Далее решаем три неравенства $-4\pi\le 2\pi k\le-\frac{5\pi}{2}$, $-4\pi\le \frac{\pi}{3}+2\pi k\le -\frac{5\pi}{2}$ и $-4\pi\le -\frac{\pi}{3}+2\pi k\le -\frac{5\pi}{2}$. Получаем $-2\le k\le -\frac{5}{4}$, $-\frac{13}{6}\le k \le -\frac{17}{12}$ и $-\frac{11}{6}\le k\le -\frac{13}{12}$. Так как $k\in Z$, то есть $k$ - целое число, то $k=-2$ для первого неравенства, $k=-2$ для второго неравенства, для третьего неравенства целых значений $k$ не существует.
    Осталось подставить каждое из найденных $k$ в свою формулу и вычислить конкретные углы.
17. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru. Заметим, что $1-4x+4x^2=(1-2x)^2$. Тогда числитель можно записать как  $\log_{1-2x}(x+1)+2\log_{1-2x}|1-2x|$. Так как $1-2x>0$, то $|1-2x|=1-2x$ и числитель равен $\log_{1-2x}(x+1)+2$. Пусть $\log_{1-2x}(x+1)=t$, тогда $t(t+2)\le -1$$\Leftrightarrow (t+1)^2\le 0$. Так как квадрат неотрицателен для любого $t$, то $t=-1$. Поэтому $\log_{1-2x}(x+1)=\log_{1-2x}\frac{1}{1-2x}$ и $x+1=\frac{1}{1-2x}$, откуда $x=0$ или $x=-\displaystyle\frac{1}{2}$. После проверки получаем, что $x=-0,5$.
18. Треугольник ATB подобен треугольнику THC, треугольник TBH подобен треугольнику DTC. Поэтому $\displaystyle\frac{TH}{DC}=\frac{TB}{TC}$ и $\displaystyle\frac{TB}{TC}=\frac{AB}{TH}$. Значит, $\displaystyle\frac{TH}{9}=\frac{4}{TH}$, откуда $TH^2=36$ и $TH=6$. Решение с сайта www.itmathrepetitor.ru.

смотрите еще ЕГЭ 2015 Демонстрационный вариант (профильный уровень)