Решение тренировочной работы МИОО
18 декабря 2015 г
11 класс, профильный уровень
Условия задач здесь
(в процессе...)
9. www.itmathrepetitor.ru . Здесь мы раскрыли внутреннюю скобку ("минус на минус дает плюс", как говорится) и знак ":" заменили на дробь. Так как от перестановки множителей произведение не меняется, то в числителе имеем подобные слагаемые. Получаем
, так как одинаковые множители можно сокращать.
10. www.itmathrepetitor.ru Выразим из формулы . Для этого разделим на
и возведем обе части равенства в квадрат. Тогда
, откуда
и
. Строго говоря, необходимо еще добавить "
", но знак "-" устно отсеяли из-за физического смысла переменных
и
. www.itmathrepetitor.ru Подставим конкретные значения, предварительно согласовав единицы измерения, так как встречаются и метры, и километры. Тогда
м/c. Далее полезно вспомнить формулу разности квадратов для вычисления корня. В итоге,
м/c или
км/с.
11. 17 минут составляют часа, 48 минут - это
ч. Пусть
- скорость первого гонщика,
- скорость второго в км/ч. Если за 17 минут первый прошел
км, то второй -
км, поэтому
и
. Подставим
во второе уравнение. После упрощения находим, что
. Здесь выразили именно
, так как необходимо найти
. www.itmathrepetitor.ru
Вся дистанция составляет км. Если первый гонщик прошел ее за
ч, то второй - за
ч. Тогда
и
. Выразим из первого уравнения
, учтем, что
и подставим во второе. После упрощения получим квадратное уравнение
, из которого следует, что
км/ч.
12. Так как показательная функция возрастает на всей области определения (4>1), то функция
принимает наименьшее значение при таком
, при котором принимает наименьшее значение выражение
. Известно, что квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом (в нашем случае
) достигает минимума при
(абсцисса вершины параболы). Поэтому
при
.
Задачу можно было решить и с помощью производной.
13. а) Так как левая часть - это произведение, а правая часть равна нулю, то или
. При этом следует помнить, что корни первого уравнения должны быть такими, чтобы существовал множитель
, то есть
I или III четвертям тригонометрический окружности и
.
Рассмотрим первое уравнение. С помощью основного тригонометрического тождества перейдем к синусу:
, откуда
или
. Значит,
или
. С учетом ограничений на
из-за
остаются лишь значения
и
. www.itmathrepetitor.ru
б) Так как формулы полученных в а) решений просты, то для каждой можно подобрать значение так, чтобы угол принадлежал отрезку
, а затем это
изменять в большую и меньшую стороны до тех пор, пока получающиеся углы не выйдут из отрезка.
Второй способ является более универсальным.
Запишем для угла вида ограничения в виде двойного неравенства
. Упростим центральное выражение, для чего отнимем
от каждой из трех частей неравенства, затем разделим каждую на
. Тогда
. Так как
, то есть целое число, то
(вообще, может получиться и несколько значений). www.itmathrepetitor.ru
Найденное подставляем в формулу, с которой работали изначально, и находим конкретный угол
. Аналогично находим углы и из второй формулы решения.
15. Вспомним формулы сокращенного умножения, а именно и
, где
- корни квадратного трехчлена (кто забыл, как их находить, читайте статью). Тогда
и
. В общем, мы начали решать неравенство методом интервалов. www.itmathrepetitor.ru
Далее перенесем дробь из правой части неравенства в левую (при этом ее знак изменится) и разложим левую часть на множители. Получим
. Затем рисуем картинку: числовая ось, нули скобок, знаки и т.д. Все схематично. Главное, чтобы точки располагались в правильном порядке (чем больше число, тем правее). Важно не забыть, что точки из знаменателя не должны попасть в ответ, что знак при переходе через точку не меняется, если степень соответствующей скобки четная. Еще в этой задаче мы сталкиваемся с самой обидной ошибкой многих школьников: не заметить, что точка
является решением, хотя вокруг нее промежутки со знаком "-". Ответ: {3/5}
16. а) Сначала рассмотрим на отдельном рисунке вспомогательное утверждение.
Пусть в произвольный треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Тогда .
Доказательство: так как т. О - центр вписанной окружности, то есть точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр), то
. Что и требовалось доказать.
Перейдем к решению основной задачи.
Первый способ.
Если мы докажем, что угол СОА равен 135o, тогда из вспомогательного утверждения следует, что угол СВА равен .
Так как радиус ОМ перпендикулярен касательной АС, то треугольники ОМА и СОМ прямоугольные и их гипотенузы соответственно равны и
(по теореме Пифагора).
Применим для треугольника СОА теорему косинусов.
, откуда
(определили по таблице с учетом того, что
и
) .
Доказательство закончено.
Идея второго способа.
Пусть ("альфа") и
("гамма"). Из треугольников ОАМ и ОСМ соответственно находим их косинусы и синусы. Так как
и
, то
. Далее с помощью тригонометрических формул находим
.
смотрите еще Демонстрационный вариант КИМ для проведения в 2016 году ЕГЭ по математике 11 класс Профильный уровень
в 13 sinx=0 это значит что x п/2+пк а у вас пк
не согласен
всё со мной
В 15 неправильно , ибо там при умножениии крест на крест все сокращается , и получается х больше или равен -6
в неравенствах нельзя крест накрест перемножать так, как вы предлагаете. 1/x>1 - проверьте, получаете неправильный ответ.
А нет , я просто не так решал
Кстати , может 14 , 18 разжуете ?
скоро добавлю
В общем, в 13 и 15 все правильно, просто учите формулы
В №15 ошибка! не правильно вынесли за скобки квадрат разности.
можно подробнее?