Решение тренировочной работы МИОО

18 декабря 2015 г

11 класс, профильный уровень

Условия задач здесь

(в процессе...)

9.  www.itmathrepetitor.ru $\displaystyle\frac{9axy+6xya}{3yax}$. Здесь мы раскрыли внутреннюю скобку ("минус на минус дает плюс", как говорится) и знак ":" заменили на дробь. Так как от перестановки множителей произведение не меняется, то в числителе имеем подобные слагаемые. Получаем $\displaystyle\frac{15axy}{3axy} = 5$, так как одинаковые множители можно сокращать.

10. www.itmathrepetitor.ru Выразим из формулы $v$.  Для этого разделим на $l_0$ и возведем обе части равенства в квадрат. Тогда $\displaystyle\frac{l^2}{l_0^2}=1-\frac{v^2}{c^2}$, откуда $\displaystyle\frac{v^2}{c^2}=\frac{l_0^2-l^2}{l_0^2}$ и $v=\displaystyle\frac{c}{l_0}\sqrt{l_0^2-l^2}$. Строго говоря, необходимо еще добавить "$\pm$", но знак "-" устно отсеяли из-за физического смысла переменных $v, l_0$ и $c$. www.itmathrepetitor.ru Подставим конкретные значения, предварительно согласовав единицы измерения, так как встречаются и метры, и километры. Тогда $v=\displaystyle\frac{3\cdot 10^8}{95}\sqrt{95^2-57^2}$ м/c. Далее полезно вспомнить формулу разности квадратов для вычисления корня. В итоге, $v=2,4\cdot 10^8$ м/c или $2,4\cdot 10^5=240000$ км/с.

11. 17 минут составляют $\displaystyle\frac{17}{60}$ часа, 48 минут - это $\displaystyle\frac{4}{5}$ ч. Пусть $v_1$ - скорость первого гонщика, $v_2$ - скорость второго в км/ч. Если за 17 минут первый прошел $S$ км, то второй - $S-8$ км, поэтому $S=v_1\cdot \displaystyle\frac{4}{5}$ и $S-8=v_2\cdot\displaystyle\frac{4}{5}$. Подставим $S$ во второе уравнение. После упрощения находим, что $v_1=v_2+10$. Здесь выразили именно $v_1$, так как необходимо найти $v_2$. www.itmathrepetitor.ru
Вся дистанция составляет $8\cdot 85=680$ км. Если первый гонщик прошел ее за $t$ ч, то второй - за $t+\displaystyle\frac{17}{60}$ ч. Тогда $680=v_1\cdot t$ и $680=v_2\cdot (t+\displaystyle\frac{17}{60})$. Выразим из первого уравнения $t=\displaystyle\frac{680}{v_1}$, учтем, что $v_1=v_2+10$ и подставим во второе.  После упрощения получим квадратное уравнение $v_2^2+10v_2-24000=0$, из которого следует, что $v_2=150$ км/ч.

12. Так как показательная функция $y=4^x$ возрастает на всей области определения (4>1), то функция $y=4^{x^2-2x+5}$ принимает наименьшее значение при таком $x$, при котором принимает наименьшее значение выражение $x^2-2x+5$. Известно, что квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом (в нашем случае $a=1>0$) достигает минимума при $x_0=\displaystyle\frac{-b}{2a}$ (абсцисса вершины параболы). Поэтому $y_{min}=4^{1^2-2\cdot 1+5}=256$ при $x_{min}=1$.
Задачу можно было решить и с помощью производной.

13. а) Так как левая часть - это произведение, а правая часть равна нулю, то $2\cos^2x+\sin x-2=0$ или $tg x=0$. При этом следует помнить, что корни первого уравнения должны быть такими, чтобы существовал множитель $\sqrt{5tg x}$, то есть $x\in$ I или III четвертям тригонометрический окружности и $\cos x\ne 0$.
Рассмотрим первое уравнение. С помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2x+\cos^2x=1$ перейдем к синусу: $2\sin^2x-\sin x=0$ $\Leftrightarrow \sin x(2\sin x-1)=0$, откуда $\sin x=0$ или $\sin x=\displaystyle\frac{1}{2}$. Значит, $x=\pi n, n\in Z$ или $x=(-1)^n\displaystyle\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in Z$. С учетом ограничений на $x$ из-за $\sqrt{5tg x}$ остаются лишь значения $x=\pi n, n\in Z$ и $x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$. www.itmathrepetitor.ru

б) Так как формулы полученных в а) решений просты, то для каждой можно подобрать значение $n$ так, чтобы угол принадлежал отрезку $[\pi; 5\pi/2]$, а затем это $n$ изменять в большую и меньшую стороны до тех пор, пока получающиеся углы не выйдут из отрезка.
Второй способ является более универсальным.
Запишем для угла вида $\displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi n$ ограничения в виде двойного неравенства $\pi\le \displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi n \le\frac{5\pi}{2}$. Упростим центральное выражение, для чего отнимем $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ от каждой из трех частей неравенства, затем разделим каждую на $2\pi$. Тогда $\displaystyle\frac{5}{12}\le n\le\frac{7}{6}$. Так как $n\in Z$, то есть целое число, то $n=1$ (вообще, может получиться и несколько значений). www.itmathrepetitor.ru
Найденное $n$ подставляем в формулу, с которой работали изначально, и находим конкретный угол $\displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{13\pi}{6}$. Аналогично находим углы и из второй формулы решения.

15. Вспомним формулы сокращенного умножения, а именно $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1,x_2$ - корни квадратного трехчлена (кто забыл, как их находить, читайте статью). Тогда $9-30x+25x^2=(3-5x)^2=(5x-3)^2$ и $14-9x+x^2=(x-2)(x-7)$. В общем, мы начали решать неравенство методом интервалов. www.itmathrepetitor.ru
Далее перенесем дробь из правой части неравенства в левую (при этом ее знак изменится) и разложим левую часть на множители. Получим $\displaystyle\frac{(5x-3)^2}{x-2}\cdot (1-\frac{1}{x-7})\ge 0$ $\Leftrightarrow\displaystyle\frac{(5x-3)^2(x-8)}{(x-2)(x-7)}\ge 0$. Затем рисуем картинку: числовая ось, нули скобок, знаки и т.д. Все схематично. Главное, чтобы точки располагались в правильном порядке (чем больше число, тем правее). Важно не забыть, что точки из знаменателя не должны попасть в ответ, что знак при переходе через точку не меняется, если степень соответствующей скобки четная. Еще в этой задаче мы сталкиваемся с самой обидной ошибкой многих школьников: не заметить, что точка $3/5$ является решением, хотя вокруг нее промежутки со знаком "-".  Ответ: {3/5}$\cup (2;7)\cup [8;+\infty)$

16. а) Сначала рассмотрим на отдельном рисунке  вспомогательное утверждение.

Пусть в произвольный треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Тогда $\angle AOC =90^o+\displaystyle\frac{\angle ABC}{2}$.

Доказательство: так как т. О - центр вписанной окружности, то есть точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр), то $\angle AOC = 180^o-(\displaystyle\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle C}{2})$ $=180^o -\displaystyle\frac{\angle A+\angle C}{2}$ $=180^0-\displaystyle\frac{180^0-\angle B}{2}$ $=180^0-90^0+\displaystyle\frac{\angle B}{2}$ $=90^0+\displaystyle\frac{\angle B}{2}$. Что и требовалось доказать.

Перейдем к решению основной задачи.

Первый способ.

Если мы докажем, что угол СОА равен 135^o, тогда из вспомогательного утверждения следует, что угол СВА равен $2\cdot (135^o-90^o) = 90^o$.

Так как радиус ОМ перпендикулярен касательной АС, то треугольники ОМА и СОМ прямоугольные и их гипотенузы соответственно равны $\sqrt{4R^2+R^2}=R\sqrt{5}$ и $\sqrt{9R^2+R^2}=R\sqrt{10}$ (по теореме Пифагора).

Применим для треугольника СОА теорему косинусов.

$25R^2=10R^2+5R^2-2\cdot R\sqrt{10}\cdot R\sqrt{5}\cos\angle B$ $\Leftrightarrow 10R^2=-2R^2\sqrt{50}\cos\angle B$ $\Leftrightarrow \cos\angle B= -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$, откуда $\angle B = 135^o$ (определили по таблице с учетом того, что $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и  $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$) .

Доказательство закончено.

Идея второго способа.

Пусть $\angle MAO = \alpha$ ("альфа") и $\angle OCM = \gamma$ ("гамма"). Из треугольников ОАМ и ОСМ соответственно находим их косинусы и синусы. Так как $\angle BCA = 2\gamma$ и $\angle CAB = 2\alpha$, то $\angle CBA =180^o - 2\alpha-2\gamma$. Далее с помощью тригонометрических формул находим $\cos \angle CBA$.

смотрите еще Демонстрационный вариант КИМ для проведения в 2016 году ЕГЭ по математике 11 класс Профильный уровень