Решение тренировочной работы МИОО

18 декабря 2015 г

11 класс, профильный уровень

Условия задач здесь

(в процессе…)

9.  www.itmathrepetitor.ru \(\displaystyle\frac{9axy+6xya}{3yax}\). Здесь мы раскрыли внутреннюю скобку (“минус на минус дает плюс”, как говорится) и знак “:” заменили на дробь. Так как от перестановки множителей произведение не меняется, то в числителе имеем подобные слагаемые. Получаем \(\displaystyle\frac{15axy}{3axy} = 5\), так как одинаковые множители можно сокращать.

10. www.itmathrepetitor.ru Выразим из формулы \(v\).  Для этого разделим на \(l_0\) и возведем обе части равенства в квадрат. Тогда \(\displaystyle\frac{l^2}{l_0^2}=1-\frac{v^2}{c^2}\), откуда \(\displaystyle\frac{v^2}{c^2}=\frac{l_0^2-l^2}{l_0^2}\) и \(v=\displaystyle\frac{c}{l_0}\sqrt{l_0^2-l^2}\). Строго говоря, необходимо еще добавить “\(\pm\)”, но знак “-” устно отсеяли из-за физического смысла переменных \(v, l_0\) и \(c\). www.itmathrepetitor.ru Подставим конкретные значения, предварительно согласовав единицы измерения, так как встречаются и метры, и километры. Тогда \(v=\displaystyle\frac{3\cdot 10^8}{95}\sqrt{95^2-57^2}\) м/c. Далее полезно вспомнить формулу разности квадратов для вычисления корня. В итоге, \(v=2,4\cdot 10^8\) м/c или \(2,4\cdot 10^5=240000\) км/с.

11. 17 минут составляют \(\displaystyle\frac{17}{60}\) часа, 48 минут – это \(\displaystyle\frac{4}{5}\) ч. Пусть \(v_1\) – скорость первого гонщика, \(v_2\) – скорость второго в км/ч. Если за 17 минут первый прошел \(S\) км, то второй – \(S-8\) км, поэтому \(S=v_1\cdot \displaystyle\frac{4}{5}\) и \(S-8=v_2\cdot\displaystyle\frac{4}{5}\). Подставим \(S\) во второе уравнение. После упрощения находим, что \(v_1=v_2+10\). Здесь выразили именно \(v_1\), так как необходимо найти \(v_2\). www.itmathrepetitor.ru
Вся дистанция составляет \(8\cdot 85=680\) км. Если первый гонщик прошел ее за \(t\) ч, то второй – за \(t+\displaystyle\frac{17}{60}\) ч. Тогда \(680=v_1\cdot t\) и \(680=v_2\cdot (t+\displaystyle\frac{17}{60})\). Выразим из первого уравнения \(t=\displaystyle\frac{680}{v_1}\), учтем, что \(v_1=v_2+10\) и подставим во второе.  После упрощения получим квадратное уравнение \(v_2^2+10v_2-24000=0\), из которого следует, что \(v_2=150\) км/ч.

12. Так как показательная функция \(y=4^x\) возрастает на всей области определения (4>1), то функция \(y=4^{x^2-2x+5}\) принимает наименьшее значение при таком \(x\), при котором принимает наименьшее значение выражение \(x^2-2x+5\). Известно, что квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом (в нашем случае \(a=1>0\)) достигает минимума при \(x_0=\displaystyle\frac{-b}{2a}\) (абсцисса вершины параболы). Поэтому \(y_{min}=4^{1^2-2\cdot 1+5}=256\) при \(x_{min}=1\).
Задачу можно было решить и с помощью производной.

13. а) Так как левая часть – это произведение, а правая часть равна нулю, то \(2\cos^2x+\sin x-2=0\) или \(tg x=0\). При этом следует помнить, что корни первого уравнения должны быть такими, чтобы существовал множитель \(\sqrt{5tg x}\), то есть \(x\in \) I или III четвертям тригонометрический окружности и \(\cos x\ne 0\).
Рассмотрим первое уравнение. С помощью основного тригонометрического тождества \(\sin^2x+\cos^2x=1\) перейдем к синусу: \(2\sin^2x-\sin x=0\) \(\Leftrightarrow \sin x(2\sin x-1)=0\), откуда \(\sin x=0\) или \(\sin x=\displaystyle\frac{1}{2}\). Значит, \(x=\pi n, n\in Z\) или \(x=(-1)^n\displaystyle\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in Z\). С учетом ограничений на \(x\) из-за \(\sqrt{5tg x}\) остаются лишь значения \(x=\pi n, n\in Z\) и \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z\). www.itmathrepetitor.ru

б) Так как формулы полученных в а) решений просты, то для каждой можно подобрать значение \(n\) так, чтобы угол принадлежал отрезку \([\pi; 5\pi/2]\), а затем это \(n\) изменять в большую и меньшую стороны до тех пор, пока получающиеся углы не выйдут из отрезка.
Второй способ является более универсальным.
Запишем для угла вида \(\displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi n\) ограничения в виде двойного неравенства \(\pi\le \displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi n \le\frac{5\pi}{2}\). Упростим центральное выражение, для чего отнимем \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) от каждой из трех частей неравенства, затем разделим каждую на \(2\pi\). Тогда \(\displaystyle\frac{5}{12}\le n\le\frac{7}{6}\). Так как \(n\in Z\), то есть целое число, то \(n=1\) (вообще, может получиться и несколько значений). www.itmathrepetitor.ru
Найденное \(n\) подставляем в формулу, с которой работали изначально, и находим конкретный угол \(\displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{13\pi}{6}\). Аналогично находим углы и из второй формулы решения.

15. Вспомним формулы сокращенного умножения, а именно \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) и \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\), где \(x_1,x_2\) – корни квадратного трехчлена (кто забыл, как их находить, читайте статью). Тогда \(9-30x+25x^2=(3-5x)^2=(5x-3)^2\) и \(14-9x+x^2=(x-2)(x-7)\). В общем, мы начали решать неравенство методом интервалов. www.itmathrepetitor.ru
Далее перенесем дробь из правой части неравенства в левую (при этом ее знак изменится) и разложим левую часть на множители. Получим \(\displaystyle\frac{(5x-3)^2}{x-2}\cdot (1-\frac{1}{x-7})\ge 0\) \(\Leftrightarrow\displaystyle\frac{(5x-3)^2(x-8)}{(x-2)(x-7)}\ge 0\). Затем рисуем картинку: числовая ось, нули скобок, знаки и т.д. Все схематично. Главное, чтобы точки располагались в правильном порядке (чем больше число, тем правее). Важно не забыть, что точки из знаменателя не должны попасть в ответ, что знак при переходе через точку не меняется, если степень соответствующей скобки четная. Еще в этой задаче мы сталкиваемся с самой обидной ошибкой многих школьников: не заметить, что точка \(3/5\) является решением, хотя вокруг нее промежутки со знаком “-“.  Ответ: {3/5}\(\cup (2;7)\cup [8;+\infty)\)

16. а) Сначала рассмотрим на отдельном рисунке  вспомогательное утверждение.

Пусть в произвольный треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Тогда \(\angle AOC =90^o+\displaystyle\frac{\angle ABC}{2}\).

Доказательство: так как т. О – центр вписанной окружности, то есть точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр), то \(\angle AOC = 180^o-(\displaystyle\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle C}{2})\) \(=180^o -\displaystyle\frac{\angle A+\angle C}{2}\) \(=180^0-\displaystyle\frac{180^0-\angle B}{2}\) \(=180^0-90^0+\displaystyle\frac{\angle B}{2}\) \(=90^0+\displaystyle\frac{\angle B}{2}\). Что и требовалось доказать.

Перейдем к решению основной задачи.

Первый способ.

Если мы докажем, что угол СОА равен 135^o, тогда из вспомогательного утверждения следует, что угол СВА равен \(2\cdot (135^o-90^o) = 90^o\).

Так как радиус ОМ перпендикулярен касательной АС, то треугольники ОМА и СОМ прямоугольные и их гипотенузы соответственно равны \(\sqrt{4R^2+R^2}=R\sqrt{5}\) и \(\sqrt{9R^2+R^2}=R\sqrt{10}\) (по теореме Пифагора).

Применим для треугольника СОА теорему косинусов.

\(25R^2=10R^2+5R^2-2\cdot R\sqrt{10}\cdot R\sqrt{5}\cos\angle B\) \(\Leftrightarrow 10R^2=-2R^2\sqrt{50}\cos\angle B\) \(\Leftrightarrow \cos\angle B= -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\), откуда \(\angle B = 135^o\) (определили по таблице с учетом того, что \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) и  \(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\)) .

Доказательство закончено.

Идея второго способа.

Пусть \(\angle MAO = \alpha\) (“альфа”) и \(\angle OCM = \gamma\) (“гамма”). Из треугольников ОАМ и ОСМ соответственно находим их косинусы и синусы. Так как \(\angle BCA = 2\gamma\) и \(\angle CAB = 2\alpha\), то \(\angle CBA =180^o – 2\alpha-2\gamma\). Далее с помощью тригонометрических формул находим \(\cos \angle CBA\).

смотрите еще Демонстрационный вариант КИМ для проведения в 2016 году ЕГЭ по математике 11 класс Профильный уровень